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Stetigkeit in Räumen(knifflig): Brauche Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Do 10.05.2007
Autor: Nobody07

Aufgabe
Sei X = C [mm] \cup [/mm] D mit C,D [mm] \subset [/mm] Xabgeschlossen. Weiter sei f : X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion mit der Eigenschaft [mm] f|_{C} [/mm] und [mm] f|_{D} [/mm] stetig sind. Zeigen sie, dass d stetig.

So da hab ich mir folgende Gedanken gemacht!

[mm] f|_{C} [/mm] : C [mm] \to [/mm] Y stetig                [mm] f|_{C} [/mm] := [mm] f_{0} [/mm]
[mm] f|_{D} [/mm] : D [mm] \to [/mm] Y stetig                [mm] f|_{D} [/mm] := [mm] f_{1} [/mm]

Sei Z [mm] \subset [/mm] Y abgeschlossen sind [mm] f_{0}^{-1} [/mm] : Z [mm] \to [/mm] C und [mm] f_{1}^{-1} [/mm] : Z [mm] \to [/mm] D abgeschlossen in C oder D je nach Wahl von [mm] f_{i}^{-1} [/mm] und weil diese abgeschlossen sind auch in X.



[mm] \Rightarrow f^{-1}(Z) [/mm] = [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z) [/mm] abgeschlossen in X also auch in C [mm] \cup [/mm] D

Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind somit abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig

so würde mich über komentare zu meiner Lösung freuen!

Mfg Nobody

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Stetigkeit in Räumen(knifflig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Do 10.05.2007
Autor: angela.h.b.


> Sei X = C [mm]\cup[/mm] D mit C,D [mm]\subset[/mm] Xabgeschlossen. Weiter sei
> f : X [mm]\to[/mm] Y eine Funktion mit der Eigenschaft [mm]f|_{C}[/mm] und
> [mm]f|_{D}[/mm] stetig sind. Zeigen sie, dass f stetig.


Hallo,

[willkommenmr].

Die Gedanken Deines Lösungsansatzes sind richtig,
Eine (einfach zu schließende) Lücke habe ich gefunden.


>  So da hab ich mir folgende Gedanken gemacht!
>  
> [mm]f|_{C}[/mm] : C [mm]\to[/mm] Y stetig                [mm]f|_{C}[/mm] := [mm]f_{0}[/mm]
>  [mm]f|_{D}[/mm] : D [mm]\to[/mm] Y stetig                [mm]f|_{D}[/mm] := [mm]f_{1}[/mm]
>  
> Sei Z [mm]\subset[/mm] Y abgeschlossen.

Dann

> sind [mm]f_{0}^{-1}[/mm] : Z [mm]\to[/mm] C und
> [mm]f_{1}^{-1}[/mm] : Z [mm]\to[/mm] D abgeschlossen

Das ist Unfug. Eine Funktion kann nicht abgeschlossen sein.
(Natürlich meinst Du das Richtige - schreib' es dann auch.)

> in C oder

bzw.

> D je nach Wahl von [mm][mm] f_{i}^{-1} [/mm] und weil diese abgeschlossen sind auch in X.
>  
>
>
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(Z)[/mm] = [mm]f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z)[/mm]
> abgeschlossen in X also auch in C [mm]\cup[/mm] D

Diesem Schluß folge ich noch nicht:

Daß [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z) [/mm] abgeschlossen in X als Vereinigung abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, leuchtet mir ein.

Aber warum ist [mm] f^{-1}(Z) [/mm] = [mm] f_{0}^{-1}(Z) \cup f_{1}^{-1}(Z). [/mm]
Da scheint es mir noch Erklärungsbedarf zu geben.


>
> Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind somit
> abgeschlossen


Es ist nun gezeigt, daß das Urbild einer jeden abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist,

> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit in Räumen(knifflig): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:51 Mo 14.05.2007
Autor: Nobody07

Danke für die Hilfe habs gecheckt!

Bye Flo

Bezug
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