Stetigkeit in topol. Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Sa 11.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | a)
Sei [mm] (X,\mathcal{P}(X)) [/mm] eine Menge mit der diskreten Topologie und [mm] (Y,\tau) [/mm] ein beliebiger topologischer Raum. Zeigen Sie, dass jede Abbildung [mm] \phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] Y stetig ist.
b)
Sei [mm] (Y,\{\emptyset, Y\} [/mm] eine Menge mit der trivialen Topologie und [mm] (X,\tau) [/mm] ein beliebiger topologischer Raum. Zeigen Sie, dass jede Abbildung [mm] \phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] Y stetig ist. |
Hallo,
bin leider noch nicht so ganz mit dem Thema der Topologie vertraut und würde mich freuen, wenn jemand Korrekturlesen könnte 
a)
Sei a [mm] \in [/mm] X. Zu jeder offenen Umgebung von [mm] \phi [/mm] (a) (=V) gibt es eine Umgebung U von a mit [mm] \phi(U) \subset [/mm] V, da gem. Definition von [mm] (X,\mathcal{P}(X)) [/mm] jede Teilmenge von X eine offene Menge ist und somit Umgebungen für jedes a [mm] \in [/mm] X existieren [mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit [mm] \Box
[/mm]
b)
Sein a [mm] \in [/mm] X. Zu jeder offenen Umgebung von [mm] \phi [/mm] (a) (=V) gibt es eine Umgebung U von a mit [mm] \phi(U) \subset [/mm] V, da die einzige offene Umgebung von [mm] \phi [/mm] (a) = X = V [mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit [mm] \Box
[/mm]
Kam mir jetzt ein wenig trivial vor, hoffe, ich habe das beweistechnisch halbwegs richtig notiert
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a)
> Sei [mm](X,\mathcal{P}(X))[/mm] eine Menge mit der diskreten
> Topologie und [mm](Y,\tau)[/mm] ein beliebiger topologischer Raum.
> Zeigen Sie, dass jede Abbildung [mm]\phi[/mm] : X [mm]\to[/mm] Y stetig ist.
wenn Du magst: schau' einfach auch mal hier (klick!) rein, mit ein bisschen
Nachdenken beim Lesen bekommst Du a) damit sofort in vollkommener
Analogie gelöst (die "Alternative" ist halt mehr auf die spezielle Situation
dort - metrische Räume - zugeschnitten)!
Zu Deiner Lösung zu a):
> a)
> Sei a $ [mm] \in [/mm] $ X. Zu jeder offenen Umgebung von $ [mm] \phi [/mm] $(a)(=V)
> gibt es
>
> eine Umgebung U von a mit $ [mm] \phi(U) \subset [/mm] $ V, da gem. Definition von
> $ [mm] (X,\mathcal{P}(X)) [/mm] $ jede Teilmenge von X eine offene Menge ist und
> somit Umgebungen für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ X existieren $ [mm] \Rightarrow [/mm] $
> Stetigkeit $ [mm] \Box [/mm] $
Das ist inhaltlich okay, ich würde es aber ein wenig anders aufschreiben:
Sei $a [mm] \in X\,.$ [/mm] Ist $V [mm] \subseteq [/mm] Y$ offen mit [mm] $\phi(a) \in [/mm] V [mm] \in \tau\,,$ [/mm] so ist sicherlich [mm] $\phi^{-1}(V)=:U \subseteq [/mm] X$ mit $a [mm] \in U\,.$ [/mm]
Daher ist [mm] $\phi^{-1}(\tilde{U}) \in P(X)\,,$ [/mm] also insbesondere offen in [mm] $X\,$ [/mm] bzgl. der Topologie [mm] $P(X)\,,$ [/mm]
also wegen $a [mm] \in [/mm] U [mm] \in P(X)\,$ [/mm] dann [mm] $U\,$ [/mm] eine offene Umgebung von $a [mm] \in X\,.$
[/mm]
Alternativ: Wenn $a [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\phi(a) \in [/mm] V [mm] \in \tau\,,$ [/mm] dann setze einfach [mm] $U:=\{a\}\,.$
[/mm]
Bzgl. der diskreten Topologie ist [mm] $U\,$ [/mm] offen, und daher...
Ich benutze halt sowas wie "stetig in [mm] $a\,$ $\gdw$ [/mm] Urbilder von offenen Umgebungen
von [mm] $\phi(a)$ [/mm] sind offene Umgebungen von [mm] $a\,$ [/mm] ..."
> b)
> Sei $ [mm] (Y,\{\emptyset, Y\} [/mm] $ eine Menge mit der trivialen Topologie und
> $ [mm] (X,\tau) [/mm] $ ein beliebiger topologischer Raum. Zeigen Sie, dass jede
> Abbildung $ [mm] \phi [/mm] $ : X $ [mm] \to [/mm] $ Y stetig ist.
> b)
> Sein a $ [mm] \in [/mm] $ X. Zu jeder offenen Umgebung von $ [mm] \phi [/mm] $ (a) (=V) gibt
> es eine Umgebung U von a mit $ [mm] \phi(U) \subset [/mm] $ V, da die einzige
> offene Umgebung von $ [mm] \phi [/mm] $ (a) = X = V $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Stetigkeit $ [mm] \Box [/mm] $
Das ist jetzt komisch:
Für $a [mm] \in [/mm] X$ gilt: Ist [mm] $\{\emptyset,Y\} \ni [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] Y$ mit [mm] $\phi(a) \in Y\,,$
[/mm]
so folgt direkt [mm] $V=Y\,.$ [/mm] (Warum?) Und jetzt kannst Du mit [mm] $\phi^{-1}(Y)=X\,$
[/mm]
argumentieren...
Und wenn Du wieder mit der Definition arbeitest, die Euch zugrundeliegt
(dieses "Umgebungszeugs" von oben ist halt dazu äquivalent):
Für $a [mm] \in [/mm] X$ gilt: Ist $V [mm] \subseteq [/mm] Y$ mit [mm] $\phi(a) \in [/mm] V [mm] \in \{\emptyset,Y\}\,,$ [/mm] so folgt,
dass nur [mm] $V=Y\,$ [/mm] sein kann. Aber für $a [mm] \in [/mm] X$ gilt dann für [mm] $U:=X\,$ [/mm] mit insbesondere
[mm] $\phi(U)=\phi(\red{X}) \subseteq [/mm] V=Y$ (es gilt hier ja sogar Gleichheit)...
Vermutlich hattest Du Dich da bei [mm] $\phi(a)=X=V$ [/mm] irgendwie verheddert...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 12.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
Achso, vielen Dank
LG,
DrRiese
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