Stetigkeit in topolog. Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zur Stetigkeit in topologischen Räumen. Ich habe bald Analysis Prüfung und das ist mehr oder weniger das einzige Kapitel, durch dass ich noch nicht durchblicke.
1) Wie kann man Stetigkeit in metrischen und topologischen Räumen am einfachsten erklären/definieren?
2) Welche Topologie (indiskret oder diskrete Topologie) ist nicht metrisierbar? Ich nehme mal an, dass es die indiskrete sein muss, aber wie kann man das am besten erklären? Und warum ist die diskrete metrisierbar?
3) Was versteht man unter: eine durch die Metrik erzeugte Topologie?
Und ich würde noch gerne wissen, ob folgende Ansätze richtig sind.
Die diskrete Metrik/Topologie hat keine Norm, weil die Homogenotät verletzt wird.
Jede ein punktige Menge in der diskreten Menge ist offen, weil alle ein punktigen Mengen offen sind, wenn man eine Epsilon Umgebung von < 1 wählt und weil die Menge eine Vereinigung ihrer Punktmenge ist (jede beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen).
Ich bin über jede Antwort dankbar.
Liebe Grüße,
Christian.
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Hallo Mr E.,
die Definition von Stetigkeit erfolgt in metrischen Räumen in der Regel über die [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Definition, in topologischen Räumen sollen die Urbilder von offenen Mengen unter stetigen Abbildungen offen sein.
Die indiskrete Topologie ist nicht metrisierbar, weil metrische Räume stets auch haussdorffsch sind, die indiskrete Topologie erfüllt diese Forderung nicht. Verschiedene Punkte haben hier keine disjunkten Umgebungen.
Die diskrete Metrik
d(x,y)=0 falls x=y und 1 sonst
ist eben eine Metrik. Deswegen ist ein Raum mit diskreter Topologie metrisierbar.
Eine Topologie ist für gewöhnlich über offene Mengen definiert. Äquivalent dazu gibt es aber auch eine Möglichkeit, Topologien über Umgebungen von Punkten zu definieren. Diesen Weg nutzt man, um die von einer Metrik vorgegebenen [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebungen als Grundlage für eine Topologie zu nutzen. Das sollte dir aber jemand noch genauer erklären.
Deine beiden Ansätze sind übrigens richtig, auch wenn ich nicht weiß, was eine 'punktige' Menge ist.
Hugo
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Hallo Hugo!
Danke für deine Erklärungen.
Was versteht man unter "haussdorffsch" bzw. wie kann man es anders begründen?
Ich hätte es anders formulieren sollen, ich meinte nämlich:
Jede 1-punktige Menge in der diskreten Menge ist offen, weil alle 1-punktigen Mengen offen sind, wenn man eine Epsilon Umgebung von < 1 wählt und weil die Menge eine Vereinigung ihrer Punktmenge ist (jede beliebige Vereinigung offener Mengen ist offen).
Grüße,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 03.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also zu deiner ersten frage: ein raum ist hausdorffsch oder auch [mm] $T_2$, [/mm] wenn man zwei verschiedene punkte durch disjunkte umgebeungen trennen kann (z.b. ist [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] mit der standard-topologie offensichtlich hausdorfsch, jedoch ein mehr als ein-punktiger raum mit der indiskretsen topologie ist nicht hausdorffsch). schaue am besten mal das ![[]](/images/popup.gif) hier an.
anders begründen könnte man die nicht-metrisierbarkeit der indiskreten topologie z.b. so (würde ich zumindest behaupten): habe der raum $X$ mindestens zwei elemente und angenommen es gäbe eine metrik $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$, [/mm] die die indiskrete topologie erzeugt, dann liegen für einen beliebigen punkt $x [mm] \in [/mm] X$ alle [mm] $\varepsilon$-umgebungen ($\varepsilon [/mm] > 0$) [mm] $U_\varepsilon(x) [/mm] = [mm] \{ y \in X: d(x, y) < \varepsilon \}$ [/mm] in der topologie [mm] $\mathcal{T}$. [/mm] da [mm] $\forall \, \varepsilon [/mm] >0: x [mm] \in U_\varepsilon(x)$ [/mm] gilt [mm] $U_\varepsilon(x) \not= \emptyset$, [/mm] also (da [mm] $\mathcal{T} [/mm] = [mm] \{ \emptyset, X \}$) [/mm] muss gelten [mm] $\forall \, \varepsilon [/mm] > 0: [mm] U_\varepsilon(x) [/mm] = X$. damit muss aber [mm] $\forall \, [/mm] y [mm] \in [/mm] X [mm] \; \forall \, \varepsilon [/mm] > 0: d(x, y) < [mm] \varepsilon [/mm] $, also [mm] $\forall \, [/mm] y [mm] \in [/mm] X: d(x, y) = 0$. da $X$ als mindestens zweielementig vorrausgesetzt war gibt es also ein $y [mm] \in [/mm] X$ mit $x [mm] \not= [/mm] y$ und $d(x, y) = 0$. widerspruch zur definitheit der metrik!
ich hoffe das ist so halbwegs verständlich. man sieht hier aber auch, dass es auf das selbe trennungsargument (das bei metriken einfach durch die definitheit realisiert ist) hinausläuft, das auch von der [mm] $T_2$-argumentation [/mm] von Hugo verwendet wurde.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zu der noch offenen Frage
> Jede 1-punktige Menge in der diskreten Menge ist offen,
> weil alle 1-punktigen Mengen offen sind, wenn man eine
> Epsilon Umgebung von < 1 wählt und weil die Menge eine
> Vereinigung ihrer Punktmenge ist (jede beliebige
> Vereinigung offener Mengen ist offen).
Ja, das ist vollkommen richtig so. 
Viele Grüße
Julius
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