Stetigkeit kontrolle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass die Funktion f(x) = [mm] x^{2}-1 [/mm] überall stetig ist. |
Hallo!
Ich habe das mal so versucht, wie es mir bei einer anderen aufgabe schon erklärt wurde, und will eigtl. nur wissen, ob das so richtig aufgeschrieben ist... danke!
Nach dem 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] f{\xi}
[/mm]
Eine Funktion ist stetig, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 existiert, sodass gilt:
[mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Im fall der Funktion f(x) = [mm] x^{2}-1
[/mm]
gilt daher
[mm] \varepsilon [/mm] > [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = |2z |* [mm] |(x-x_0)|< \delta*|2z [/mm] |
daraus folgt: [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{| 2z|}
[/mm]
da ein [mm] \delta [/mm] exisitiert, ist die Funktion stetig.
Stimmt eigentlich die Schlussfolgerund, da das [mm] \delta [/mm] von z abhängt ist die Funktion nicht gleichmässig stetig?
Ich bin mir auch mit den Betragsstrichen unsicher...
danke fürs Helfen und drüberlesen!
katja
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> Zeigen sie, dass die Funktion f(x) = [mm]x^{2}-1[/mm] überall
> stetig ist.
> Hallo!
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> Ich habe das mal so versucht, wie es mir bei einer anderen
> aufgabe schon erklärt wurde, und will eigtl. nur wissen,
> ob das so richtig aufgeschrieben ist... danke!
>
> Nach dem 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = [mm]f{\xi}[/mm]
Hallo,
mal abgesehen davon, daß ich nicht weiß, was Du hier mit dem Mittelwertsatz willst: kümmere Dich mal darum, wie der Mittelwertsatz richtig geht.
Das, was Du schreibst, ist falsch.
> Eine Funktion ist stetig, wenn zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein
> [mm]\delta[/mm] >0 existiert, sodass gilt:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
Du mußt die exakte Definition wissen - nicht nur so pi mal Daumen.
f ist stetig in [mm] x_0\in D_f, [/mm] wenn es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein passendes [mm]\delta[/mm] >0 gibt, so daß für alle x mit [mm] |x_0-x|<\delta [/mm] gilt:
[mm] |f(x_0)-f(x)|<\varepsilon.
[/mm]
Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
> Im fall der Funktion f(x) = [mm]x^{2}-1[/mm]
Du willst nun also zeigen, daß die Funktion f in jedem Punkt [mm] x_o\in \IR [/mm] stetig ist.
> gilt daher
>
> [mm]\varepsilon[/mm] > [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] = |2z |* [mm]|(x-x_0)|< \delta*|2z[/mm]
Was soll denn z sein?
Dir sit klar, daß Du das nicht mit dem [mm] \varepsilon-\vardelta [/mm] - Kriterium zeigen mußt? Du kannst Dich darauf berufen, daß Kompositionen stetiger Funktionen stetig sidn.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, na das mit dem mittelwertsatz hat ich von einer anderen aufgabe her, wo man mir gezeigt hat, dass man das sor lösen kann.
das z war von der Ableitung des terms, muss da ja eine andere variable nehmen, da das zwischendrin liegt,
warum soll die definiton des mittelwertsatzes falsch sein?
mit der komposition aus 2 stetigen funktionen, das ist mir klar,
hab es ja aber auch mal auf anderem wege probieren wollen.
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> hm, na das mit dem mittelwertsatz hat ich von einer anderen
> aufgabe her, wo man mir gezeigt hat, dass man das sor
> lösen kann.
Hallo,
ja, aber die Anwendung des Mittelwertsatzes setzt doch voraus, daß man weiß, daß die Funktion differenzierbar, also insbesondere stetig ist.
Von daher finde ich den Weg nicht passend.
Du willst zeigen, daß sie stetig ist, und das tust Du, indem Du die Stetigkeit bereits voraussetzt?
>
> das z war von der Ableitung des terms,
Also das, was Du vorher [mm] \xi [/mm] genannt hast?
> muss da ja eine
> andere variable nehmen, da das zwischendrin liegt,
> warum soll die definiton des mittelwertsatzes falsch
> sein?
Hast Du sie mal verglichen mit dem, was Bücher dazu schreiben?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo!
sorry, ich hatte nicht gesehen, dass da das Zeichen für die erste Ableitung fehlt. das meintest du wohl.
dass, man den mittelwertsatz dafür verwenden darf, fand ich auch komisch da die funktion ja auf dem kompakten INtervall [a,b] stetig sein muss,
in folgendem beitrag wurde mir das so gezeigt: https://matheraum.de/read?t=589919
wie kann ich denn die stetigkeit zeigen, ohne durch kombination von bekannten stetigen funktionen?
kannst du mir das an dem beispiel hier zeigen?
danke!
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Hallo Katja,
> hallo!
>
> sorry, ich hatte nicht gesehen, dass da das Zeichen für
> die erste Ableitung fehlt. das meintest du wohl.
>
> dass, man den mittelwertsatz dafür verwenden darf, fand
> ich auch komisch da die funktion ja auf dem kompakten
> INtervall [a,b] stetig sein muss,
>
>
> in folgendem beitrag wurde mir das so gezeigt:
> https://matheraum.de/read?t=589919
>
> wie kann ich denn die stetigkeit zeigen, ohne durch
> kombination von bekannten stetigen funktionen?
>
> kannst du mir das an dem beispiel hier zeigen?
Warum versuchst du nicht selbst einen Start?
Die Definition hat Angela dir oben netterweise hingeschrieben.
Gib dir also ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] vor, dann ist zu zeigen, dass [mm] $\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in\IR: |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon$
[/mm]
Nun hast du 2 Möglichkeiten:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben
1) Nimm o.E. an, dass $|x-a|<1$ ist, dann ist [mm] $|f(x)-f(a)|=|x^2-1-(a^2-1)|=|x^2-a^2|=|x-a|\cdot{}|x+a|<|x+a|=|x-a+2a|\le [/mm] |x-a|+2|a|<1+2|a|$
Begründe mal diese (Un-)Gleichungskette !
Wie musst du hier also dein [mm] $\delta$ [/mm] wählen, damit für [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] dann auch wirklich [mm] $|x^2-1-(a^2-1)|<\varepsilon$ [/mm] ist?
Bedenke, dass [mm] $\delta$ [/mm] sowohl von $a$ als auch von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen darf ...
2) Schätze $|f(x)-f(a)|$ direkt ab:
wie oben [mm] $...=\underbrace{|x-a|}_{<\delta}\cdot{}|x+a|<\delta\cdot{}|x+a|\le\delta\cdot{}(|x|+|a|) [/mm] \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Nun bedenke, dass mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] dann auch [mm] $|x|<\delta+|a|$ [/mm] ist (wieso?)
Damit also [mm] $(\star)<\delta\cdot{}(\delta+2|a|)$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\delta\cdot{}(\delta+2|a|)\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Das löse nun nach [mm] $\delta$ [/mm] auf ...
>
> danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
Guten Morgen!
ich habe es nun versucht nachzuvollziehen,
leider hängt es bei weg 1, variante 2 konnte ich denke ich lösen.
Gib dir also ein $ [mm] a\in\IR [/mm] $ vor, dann ist zu zeigen, dass $ [mm] \forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in\IR: |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon [/mm] $
Nun hast du 2 Möglichkeiten:
Sei $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ beliebig vorgegeben
1) Nimm o.E. an, dass $ |x-a|<1 $ ist, dann ist $ [mm] |f(x)-f(a)|=|x^2-1-(a^2-1)|=|x^2-a^2|=|x-a|\cdot{}|x+a|<|x+a|=|x-a+2a|\le [/mm] |x-a|+2|a|<1+2|a| $
Begründe mal diese (Un-)Gleichungskette !
Naja, zunächst wird f(x)-f(a) umgeformt, dann mit der Bedingun |x-a| <1 abgeschätzt. das kleiner eins kann man ja sagen, weil man ja nur ein [mm] \delta [/mm] benötigt. Danach ist es umgeschrieben, sodass man wieder |x-a| hat das man abschätzen kann und dann is man bei < 1+ |2a|
Wie musst du hier also dein $ [mm] \delta [/mm] $ wählen, damit für $ [mm] |x-a|<\delta [/mm] $ dann auch wirklich $ [mm] |x^2-1-(a^2-1)|<\varepsilon [/mm] $ ist?
hier fehlt mir einfach, wie ich aus der obigen ungleichung, dann die verbindung für die [mm] \delta [/mm] - gleichung bekomme.
Bedenke, dass $ [mm] \delta [/mm] $ sowohl von $ a $ als auch von $ [mm] \varepsilon [/mm] $ abhängen darf ...
2) Schätze $ |f(x)-f(a)| $ direkt ab:
wie oben $ [mm] ...=\underbrace{|x-a|}_{<\delta}\cdot{}|x+a|<\delta\cdot{}|x+a|\le\delta\cdot{}(|x|+|a|) [/mm] \ \ [mm] (\star) [/mm] $
Nun bedenke, dass mit $ [mm] |x-a|<\delta [/mm] $ dann auch $ [mm] |x|<\delta+|a| [/mm] $ ist (wieso?) Das ist doch aufgrund der dreiecksungleichung so oder?
Damit also $ [mm] (\star)<\delta\cdot{}(\delta+2|a|) [/mm] $
Und das soll $ [mm] <\varepsilon [/mm] $ sein, also $ [mm] \delta\cdot{}(\delta+2|a|)\overset{!}{<}\varepsilon [/mm] $
Das löse nun nach $ [mm] \delta [/mm] $ auf ...
nach [mm] \delta [/mm] habe ich aufgelöst mit Hilfe der p/q formel
und kommedaher
auf
[mm] \delta [/mm] = -|a| + [mm] \wurzel{a^{2}+ \varepsilon} [/mm]
die negative Lösung gilt ja nicht da [mm] \delta [/mm] > 0
Danke für die Hilfe stimmt das dann so?
katja
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Hallo nochmal,
> Guten Morgen!
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> ich habe es nun versucht nachzuvollziehen,
> leider hängt es bei weg 1, variante 2 konnte ich denke ich
> lösen.
>
>
>
> Gib dir also ein [mm]a\in\IR[/mm] vor, dann ist zu zeigen, dass
> [mm]\forall \varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in\IR: |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
>
> Nun hast du 2 Möglichkeiten:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben
>
> 1) Nimm o.E. an, dass [mm]|x-a|<1[/mm] ist, dann ist
> [mm]|f(x)-f(a)|=|x^2-1-(a^2-1)|=|x^2-a^2|=|x-a|\cdot{}|x+a|<|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+2|a|<1+2|a|[/mm]
>
> Begründe mal diese (Un-)Gleichungskette !
> Naja, zunächst wird f(x)-f(a) umgeformt, dann mit der
> Bedingun |x-a| <1 abgeschätzt. das kleiner eins kann man
> ja sagen, weil man ja nur ein [mm]\delta[/mm] benötigt. Danach ist
> es umgeschrieben, sodass man wieder |x-a| hat das man
> abschätzen kann und dann is man bei < 1+ |2a|
Ok, die Dreiecksungleichung spielt natürlich auch mit ein ...
>
>
>
> Wie musst du hier also dein [mm]\delta[/mm] wählen, damit für
> [mm]|x-a|<\delta[/mm] dann auch wirklich [mm]|x^2-1-(a^2-1)|<\varepsilon[/mm]
> ist?
>
> hier fehlt mir einfach, wie ich aus der obigen ungleichung,
> dann die verbindung für die [mm]\delta[/mm] - gleichung bekomme.
Wie wäre es mit [mm] $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|a|}\right\}$ [/mm] ?
>
> Bedenke, dass [mm]\delta[/mm] sowohl von [mm]a[/mm] als auch von [mm]\varepsilon[/mm]
> abhängen darf ...
>
> 2) Schätze [mm]|f(x)-f(a)|[/mm] direkt ab:
>
> wie oben
> [mm]...=\underbrace{|x-a|}_{<\delta}\cdot{}|x+a|<\delta\cdot{}|x+a|\le\delta\cdot{}(|x|+|a|) \ \ (\star)[/mm]
>
> Nun bedenke, dass mit [mm]|x-a|<\delta[/mm] dann auch [mm]|x|<\delta+|a|[/mm]
> ist (wieso?) Das ist doch aufgrund der
> dreiecksungleichung so oder?
Ja genau! [mm] $|x|=|x-a+a|\le|x-a|+|a|<\delta+|a|$
[/mm]
>
> Damit also [mm](\star)<\delta\cdot{}(\delta+2|a|)[/mm]
>
> Und das soll [mm]<\varepsilon[/mm] sein, also
> [mm]\delta\cdot{}(\delta+2|a|)\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
>
> Das löse nun nach [mm]\delta[/mm] auf ...
>
> nach [mm]\delta[/mm] habe ich aufgelöst mit Hilfe der p/q formel
> und kommedaher
> auf
>
> [mm] $\delta= [/mm] -|a| + [mm] \wurzel{\red{a^{2}}+ \varepsilon}$
[/mm]
Hmm fast, ich komme da unter der Wurzel statt auf [mm] $a^2$ [/mm] auf $|a|$ ...
>
> die negative Lösung gilt ja nicht da [mm]\delta[/mm] > 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für die Hilfe stimmt das dann so?
Jo, bis auf den Verschreiber unter der Wurzel stimmt das für 2)
>
> katja
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm,
ich habe doch dann,
[mm] \delta [/mm] ^{2} + 2* |a| [mm] \delta- \varepsilon [/mm] = 0
also
-|a| + [mm] \wurzel{(\bruch{2*|a|}{2})^{2}+ \varepsilon} [/mm]
wo liegt der fehler?
zu der variante eins, kannst du mir da nen tip geben, wie du auf das delta kommst, auch mit dem wissen des ergebnisses seh ich es nicht,
danke!
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Hallo nochmal,
> hm,
>
> ich habe doch dann,
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> [mm]\delta[/mm] ^{2} + 2* |a| [mm]\delta- \varepsilon[/mm] = 0
>
> also
> -|a| + [mm]\wurzel{(\bruch{2*|a|}{2})^{2}+ \varepsilon}[/mm]
> wo liegt der fehler?
Bei mir 
Ich hatte quadratisch ergänzt und übersehen, dass da ein [mm] $|a|^2$ [/mm] stehen muss, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Also stimmt dein Ergebnis!
>
> zu der variante eins, kannst du mir da nen tip geben, wie
> du auf das delta kommst, auch mit dem wissen des
> ergebnisses seh ich es nicht,
Am Schluss muss ja [mm] $....<\varepsilon$ [/mm] herauskommen.
Mit der Wahl [mm] $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|a|}\right\}$ [/mm] ist mit [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] dann netterweise $|x-a|<1$ und [mm] $|x-a|<\frac{\varepsilon}{1+2|a|}$
[/mm]
Ist ja, klar, denn wenn es kleiner ist als das Minimum der beiden Zahlen, ist es kleiner als beide der Zahlen
Also [mm] $|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x)|=...=\blue{|x-a|}\cdot{}|x+a|<\blue{\frac{\varepsilon}{1+2|a|}}\cdot{}\red{|x+a|}<\blue{\frac{\varepsilon}{1+2|a|}}\cdot{}\red{(1+2|a|)}=\varepsilon$
[/mm]
Das (bzw. ein) passende(s) [mm] $\delta$ [/mm] sieht man i.d.R. nicht auf einen Blick, man muss es sich meistens hinbasteln ...
>
> danke!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
ok, danke :)
ja mit dem basteln hab ich so meine probleme, aber es wird...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm, na das mit dem mittelwertsatz hat ich von einer anderen
> aufgabe her, wo man mir gezeigt hat, dass man das sor
Das habe ich verbrochen. In dieser Aufgabe ging es, wenn ich mich richtig erinnere, um gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit.
Kurz: diffenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung sind Lipschitzstetig (das kann man mit dem Mittelwertsatz zeigen)
Damit habe ich wohl Katja bei der aktuellen Aufgabe auf eine falsche Fährte gelockt
FRED
> lösen kann.
>
> das z war von der Ableitung des terms, muss da ja eine
> andere variable nehmen, da das zwischendrin liegt,
> warum soll die definiton des mittelwertsatzes falsch
> sein?
>
> mit der komposition aus 2 stetigen funktionen, das ist mir
> klar,
> hab es ja aber auch mal auf anderem wege probieren
> wollen.
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