Stetigkeit mit 2 Parametern < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Frage: sind folgende Fkt. F: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] an der Stelle (x,y) = (0,0) stetig?
a) f(x,y) = [mm] |\bruch{2xy}{x^{2} + y^{2}}|, [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
und = 0, für (x,y) = (0,0)
b) f(x,y) = [mm] |\bruch{y}{x^{2}}| [/mm] * [mm] e^{ -|\bruch{y}{x^{2}}|} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
und 0, für für (x,y) = (0,0)
Also die a) hab ich wie folgt gemacht:
Betrachte Grenzwert von f(x,0) mit x -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x,0) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{0}{x^{2}} [/mm] = 0
Betrachte Grenzwert von f(y,0) mit y -> 0: analog
Also somit habe ich bewiesen, dass f(x,y) für a) bei (0,0) stetig ist.
Nun wollte ich das gleiche auch für die b) machen, jedoch darf ich mir da ja nicht einfach f(0,y) anschauen, weil x im Nenner steht... ich habe es versucht mit 2 Grenzwerten in einer Formel, also zuerst x -> 0 und dann direkt y -> 0 und umgekehrt, nur müsste ich dann rein theoretisch Hospital anwenden und da weiß ich leider nicht ob das so geht, mit 2 Variablen, außerdem weiß ich nicht wie ich das ableiten soll...
Ich bitte um Hilfe!
Liebe Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
>
> Frage: sind folgende Fkt. F: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] an der Stelle
> (x,y) = (0,0) stetig?
>
> a) f(x,y) = [mm]|\bruch{2xy}{x^{2} + y^{2}}|,[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm]
> (0,0)
> und = 0, für (x,y) = (0,0)
>
> b) f(x,y) = [mm]|\bruch{y}{x^{2}}|[/mm] * [mm]e^{ -|\bruch{y}{x^{2}}|}[/mm]
> für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0)
>
> und 0, für für (x,y) = (0,0)
>
> Also die a) hab ich wie folgt gemacht:
>
> Betrachte Grenzwert von f(x,0) mit x -> 0
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x,0) = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{0}{x^{2}}[/mm]
> = 0
>
> Betrachte Grenzwert von f(y,0) mit y -> 0: analog
>
> Also somit habe ich bewiesen, dass f(x,y) für a) bei (0,0)
> stetig ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst zeigen, dass jeder Grenzwert 0 ist. In deinen beiden Rechnungen hast du dich dem Punkt (0,0) auf der y- bzw. x-Achse genähert. Was passiert, wenn du dich entlang der Winkelhalbierenden x=y näherst?
> Nun wollte ich das gleiche auch für die b) machen, jedoch
> darf ich mir da ja nicht einfach f(0,y) anschauen, weil x
> im Nenner steht... ich habe es versucht mit 2 Grenzwerten
> in einer Formel, also zuerst x -> 0 und dann direkt y -> 0
> und umgekehrt, nur müsste ich dann rein theoretisch
> Hospital anwenden und da weiß ich leider nicht ob das so
> geht, mit 2 Variablen, außerdem weiß ich nicht wie ich das
> ableiten soll...
Tipp: du kannst die Funktion betrachten als [mm]f = g\circ h[/mm] mit [mm]g(z)=z*e^{-z}[/mm], [mm]h(x,y) = |\bruch{y}{x^{2}}|[/mm]. Da die Komposition stetiger Funktionen stetig ist, könntest du versuchen, die Stetigkeit von g und h nachzuweisen. Allerdings ist h im Nullpunkt ein Problem. Du kannst aber den Grenzwert über diese Komposition einfacher ausrechnen. Betrachte auch hier wieder andere Wege als die Achsen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 02.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Ah ok, vielen Dank; jetzt hab ich das endl. kapiert 
Bei a) ist ja, wenn man x=y betrachtet der Grenzwert gegen (0,0) = 1 und somit ist das ganze nicht stetig in (0,0).
Bei der b) hab ich auch nicht stetig raus, da die Funktion h(x,y) = [mm] |\bruch{y}{x^{2}}| [/mm] gegen (0,0) nicht stetig ist, weil:
für h(x,0) mit x -> 0 ergibt sich Grenzwert 0
ABER für h(x,x) mit x-> 0 ergibt sich Grenzwert unendlich
Also existiert der Grenzwert gegen (0,0) nicht und somit ist auch die Funktion g(h(x,y)) = f(x,y) NICHT stetig.
Stimmt dies so?
LG
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 02.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Caro!
> Bei a) ist ja, wenn man x=y betrachtet der Grenzwert gegen
> (0,0) = 1 und somit ist das ganze nicht stetig in (0,0).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei der b) hab ich auch nicht stetig raus, da die Funktion
> h(x,y) = [mm]|\bruch{y}{x^{2}}|[/mm] gegen (0,0) nicht stetig ist,
> weil:
>
> für h(x,0) mit x -> 0 ergibt sich Grenzwert 0
> ABER für h(x,x) mit x-> 0 ergibt sich Grenzwert unendlich
>
> Also existiert der Grenzwert gegen (0,0) nicht und somit
> ist auch die Funktion g(h(x,y)) = f(x,y) NICHT stetig.
>
> Stimmt dies so?
Nicht ganz. Die Funktion h ist nicht stetig, das ist richtig. f ist auch nicht stetig. Aber deine Betrachtung funktioniert so nicht, denn du kannst nicht einfach aus der Unstetigkeit von h auf die Unstetigkeit von f schließen.
Betrachte: die Grenzwerte
[mm] \lim_{x\rightarrow0} f(x,0) = 0 [/mm] und [mm]\lim_{x\rightarrow0} f(x,x) = \lim_{x\rightarrow0} \left|\bruch{1}{x}\right| \mathrm{e}^{\left|\bruch{1}{x}\right|} = 0 [/mm]
Obwohl h ganz verschiedene Grenzwerte hat, ist in beiden Fällen der Grenzwert 0. Das liegt daran, dass die Funktion [mm]g(z)=z*\mathrm{e}^{-z}[/mm] für [mm]z\rightarrow+\infty[/mm] den Grenzwert 0 hat.
Betrachte doch mal einen anderen Wert von z, versuch also einen Weg zu finden, dass h(x,y) gegen einen endlichen Wert geht.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) du gehst nur auf der x-Achse oder der y-Achse gegen 0, das ist falsch! jeder beliebige Weg muss denselben GW haben: was wenn du etwa auf der Geraden y=x oder y=ax nach 0 läufst?
du kannst auch [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi [/mm] nehmen, und r gegen 0 für beliebiges [mm] \phi!
[/mm]
so würde ich auch 2: probiere.
Gruss leduart
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