Stetigkeit partieller Abl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 19.04.2009 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{x^{4}y+4x^{2}y^{3}-y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] und
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-y^{4}x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
sind stetig auf [mm] \IR^{2}. [/mm] |
Hallo,
ich brüte hier etwas über einer alten Klausuraufgabe, da ich am Mittwoch eine (mündliche) Nachprüfung habe. Deshalb wende ich mich mal an Euch und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Auf [mm] \IR^{2} [/mm] \ {0,0} sind die Ableitungen stetig als Verkettung stetiger Funktionen (Polynome) ohne Polstellen. Bleibt die Stetigkeit in (0,0 zu zeigen.
Meine Idee wäre es jetzt, mit dem Folgenkriterium ranzugehen. Also überlege ich mir
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) [/mm] =
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^{4}y+4x^{2}y^{3}-y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm]
Also: [mm] \bruch{x^{4}y+4x^{2}y^{3}-y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{y(x^{4}+4x^{2}y^{2}-y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le \bruch{y(x^{4}+4x^{2}y^{2}+y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{y((x^{2}+y^{2})^{2}+2x^{2}y^{2}))}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
...und merke, dass mich die Umformerei nicht weiter bringt. Ich wollte zeigen, dass das Teil beschränkt ist - oder ist das in diesem Fall nicht günstig? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich in diesem Fall die Stetigkeit gut zeigen kann? Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch! Dankesehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo marteen!
Setze hier jeweils die Polarkoordinaten mit $x \ = \ [mm] r*\cos(\varphi)$ [/mm] bzw. $y \ = \ [mm] r*\sin(\varphi)$ [/mm] ein.
Wenn hier stets unabhängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ derselbe Grenzwert entsteht, hast Du die Stetigkeit gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:54 So 19.04.2009 | | Autor: | marteen |
Hallo Loddar,
vielen Dank für Deine Antwort. Dieser Satz ist interessant, leider darf ich ihn nicht verwenden, da er nicht im Skript auftaucht, welches Grundlage für die Nachprüfung ist. Des Weiteren wird es denke ich um diese Aufgabe gehen und da ich sie in der Klausur mit dem Folgenkriterium angefangen habe werde ich das auch so in der Nachprüfung machen müssen. Es wäre daher ziemlich gut, wenn ich das mit dem Folgenkriterium könnte.
Wäre es in diesem Fall möglich Folgen zu definieren und einzusetzen? Also z.B. [mm] x_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{n}) [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] eine andere Nullfolge? Dass der Grenzwert von [mm] f(x_{n},y_{n}) [/mm] dann gegen 0 geht sieht man ja sofort. Aber ich habe es dann ja nur für eine Folge und nicht allgemein gezeigt, oder?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 20.04.2009 | | Autor: | marteen |
Hallo,
bin wieder auf das gekommen, was ich machen wollte.
[mm] \bruch{y((x^{2}+y^{2})^{2}+2x^{2}y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] = [mm] y(\bruch{(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})
[/mm]
Der erste Bruch ist offensichtlich = 1 und der 2. ist beschränkt - bei Grenzwertbetrachtung (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) wäre der GW also gleich (0,0) und damit wäre [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] stetig in (0,0). Würde es so gehen? Sorry, ist etwas schlampig aufgeschrieben aber der Uni-Rechner macht mich wahnsinnig.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> bin wieder auf das gekommen, was ich machen wollte.
>
>
> [mm]\bruch{y((x^{2}+y^{2})^{2}+2x^{2}y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> = [mm]y(\bruch{(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})[/mm]
>
> Der erste Bruch ist offensichtlich = 1 und der 2. ist
> beschränkt - bei Grenzwertbetrachtung (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) wäre
> der GW also gleich (0,0)
Der GW ist dann = 0 ( nicht (0,0))
> und damit wäre [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm]
> stetig in (0,0). Würde es so gehen?
Nur wenn [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0[/mm]
Ist das so ?
FRED
> Sorry, ist etwas
> schlampig aufgeschrieben aber der Uni-Rechner macht mich
> wahnsinnig.
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 20.04.2009 | | Autor: | marteen |
Natürlich, tut mir leid. Die Ursprüngliche Funktion von [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] das habe ich ganz vergessen zu schreiben. Sie ist des Weiteren so definiert, dass sie in (0,0) = 0 ist und die partielle Ableitung ist in (0,0) ebenfalls = 0. Mein Posting ändert sich also zu
"Der erste Bruch ist offensichtlich = 1 und der 2. ist beschränkt - bei Grenzwertbetrachtung (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) wäre der GW also gleich 0 und damit wäre [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] stetig in (0,0)."
Ist mein Lösungsweg im Hinblick darauf richtig?
Grüße,
Martin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Di 21.04.2009 | | Autor: | marteen |
Dankesehr!
Grüße
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Damit hast Du genau des Pudels Kern (oder so ähnlich 
) getroffen.
