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Stetigkeit überprüfen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 So 16.06.2013
Autor: lord.garbage

Aufgabe
Die Funktion [mm] $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ [/mm] sei definiert durch

[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 1-x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}$ [/mm]

In welchen Punkten ist $f$ stetig?

Hallo,

ich habe bei der Aufgabe Probleme einen Ansatz zu finden. Ich würde zunächst behaupten, dass $f$ in allen irrationalen Punkten stetig ist. Und der erste Teil der Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] x$ ist doch die Identität.

Sei also $a$ eine irrationale Zahl. Ich muss zeigen, dass [mm] $|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon$. [/mm] Allerdings finde ich keinen guten Ansatz. Kann mir jemand helfen, wie ich hier vorgehen muss.

Grüße

        
Bezug
Stetigkeit überprüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 So 16.06.2013
Autor: HJKweseleit

Du weißt sicher, dass die rationalen Zahlen "dicht" in den reellen liegen, d.h.: In jedem beliebigen Intervall mit der Intervallänge>0 liegen, neben unendlich vielen irrationalen,  auch unendlich viele rationale Zahlen. Das bedeutet aber:

Für jedes solche Intervall findest du sowohl Funktionswerte x als auch 1-x. Beispiel: Wenn x=3 ist, ist f(x)=x=3. Gehst du nun auf den irrationalen Wert [mm] 3+\delta [/mm] (mit [mm] \delta [/mm] > 0), so ist [mm] f(x)=1-(3+\delta)=-2-\delta, [/mm] der Unterschied zwischen beiden Werten also immer größer als [mm] \epsilon=1. [/mm]

Das gilt (fast) überall ähnlich, also ist die Fkt. (fast) überall unstetig. Das kannst du zeigen, indem du [mm] \epsilon [/mm] = |x-0,5| wählst.

Aber es gibt eine Ausnahme: Da, wo x=1-x ist, also bei x = 0,5. Wenn du da [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon/2 [/mm] wählst, kannst du die Stetigkeit dort zeigen.

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