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Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei die Funktion [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] stetig in 0 mit f(0)=0 und [mm] g:[-1,1]\to\IR [/mm] beschränkt. Zeigen Sie: Die Funktion [mm] fg:[-1,1]\to\IR,x\tof(x)g(x) [/mm] ist stetig in 0.
Habe mir dazu folgendes überlegt:
Da g beschränkt ist im Intervall [-1,1] existiert ein c>0 mit |g(x)|<c für alle x aus [-1,1]. Weiterhin weiß ich noch das f stetig in 0 ist, d.h. es gilt die Def. für Stetigkeit in einem Punkt a und f(0)=0. Aber wie gehe ich da jetzt weiter vor?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Es sei die Funktion [mm]f:[-1,1]\to\IR[/mm] stetig in 0 mit f(0)=0
> und [mm]g:[-1,1]\to\IR[/mm] beschränkt. Zeigen Sie: Die Funktion
> [mm]fg:[-1,1]\to\IR,x \to f(x)g(x)[/mm] ist stetig in 0.
>
> Habe mir dazu folgendes überlegt:
>
> Da g beschränkt ist im Intervall [-1,1] existiert ein c>0
> mit |g(x)|<c für alle x aus [-1,1]. Weiterhin weiß ich noch
> das f stetig in 0 ist, d.h. es gilt die Def. für Stetigkeit
> in einem Punkt a und f(0)=0. Aber wie gehe ich da jetzt
> weiter vor?
ich versuche mal, deine Gedanken richtig zu ordnen, vielleicht kommst du dann selbst auf die Lösung.
Zuerst: was sollst du zeigen? Richtig, die Stetigkeit von $f [mm] \cdot [/mm] g$ im Punkt [mm] $x_0=0$, [/mm] wobei du weißt, dass [mm] $f(x_0)=0$. [/mm] Das heißt, mit dem [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] Kriterium:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \, \exits \delta [/mm] > 0$ so dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ mit [mm] $|x-x_0 [/mm] |< [mm] \delta$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|< \epsilon$.
[/mm]
Nun gut, du weißt aber, dass $f$ stetig ist in [mm] $x_0=0$, [/mm] d.h. das [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] Kriterium ist für $f$ und [mm] $x_0=0$ [/mm] gültig. Zusätzlich weißt du, dass $|g(x)|<c$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]$.
Damit solltest du den Beweis selbst führen können. Versuch' es einmal, hier aufzuschreiben!
Viele Grüße
Astrid
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