www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit und Cauchyfolgen
Stetigkeit und Cauchyfolgen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit und Cauchyfolgen: Idee,Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Do 13.11.2014
Autor: LGS

Aufgabe
Es seien [mm] $(X,d_x)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_y)$ [/mm] metrische Räume und $f:X -> Y$ eine Abbidlung.
A) Zeigen sie unter Verwerdung der  [mm] $\epsilon-\delta-Definition:$ [/mm] Ist $ f$ gleichmäßig stetig,so bildet $ f$ Cauchy-Folgen in [mm] $(X,d_x)$ [/mm] auf Cauchy-Folgen in [mm] $(Y,d_y)$ [/mm] ab.

B) gilt die in A) genannte Folgerung stets auch dann,wenn $f$ lediglich stetig,aber nicht glm.stetig ist?

A)

Def. gleichmäßige Stetigkeit

[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 $ mit $ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X: [mm] d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<\epsilon [/mm] $

def. Cauchy-Folge

[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists N=N(\epsilon) \in \mathbb [/mm] N $, sodass  [mm] $\forall [/mm] n,m [mm] \geq [/mm] N $ gilt  [mm] $d(a_n,a_m)<\epsilon \forall [/mm] n,m $

Bew.:

Sei  $f:X -> Y  $glm.stetig  [mm] $\Rightarrow \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0  $ mit  [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X [mm] d_X(x,y)< \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))< \epsilon. [/mm] $

Seien nun $ [mm] (x_n)_{n \in \mathbb N} [/mm] $ und  [mm] $(x_a)_{a \in \mathbb N} [/mm]  $Cauchy-Folgen in  $X $. Da nun  [mm] $\delta [/mm] >0  $gilt.

[mm] $\forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists N=N(\delta) \in \mathbb [/mm] N  $, sodass $ [mm] \forall n,m\geq [/mm] N  $gilt  [mm] $d((x_n),(x_a))<\delta [/mm] $  $ [mm] \forall n,m\geq [/mm] N $. Jedoch existiert jetzt durch die Definition der glm.Stetigkeit für alle  [mm] $\epsilon [/mm] >0  $ein  [mm] $\delta [/mm] >0 $.

Daraus folgt durch glm.Stetigkeit  [mm] $d_y(f(x_n),f(x_a))<\epsilon [/mm] $

So wird durch die glm.Stetigkeit von f jede Cauchy-Folge auf eine Cauchy-Folge abgebildet


Bei der  B) glaube ,dass das nicht der Fall ist,aber ich weis keinen Beweis..pardon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit und Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Do 13.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Es seien [mm](X,d_x)[/mm] und [mm](Y,d_y)[/mm] metrische Räume und [mm]f:X -> Y[/mm]
> eine Abbidlung.
>  A) Zeigen sie unter Verwerdung der  
> [mm]\epsilon-\delta-Definition:[/mm] Ist [mm]f[/mm] gleichmäßig stetig,so
> bildet [mm]f[/mm] Cauchy-Folgen in [mm](X,d_x)[/mm] auf Cauchy-Folgen in
> [mm](Y,d_y)[/mm] ab.
>  
> B) gilt die in A) genannte Folgerung stets auch dann,wenn [mm]f[/mm]
> lediglich stetig,aber nicht glm.stetig ist?
>  A)
>  
> Def. gleichmäßige Stetigkeit
>
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists \delta >0[/mm] mit [mm]\forall x,y \in X: d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<\epsilon[/mm]
>  
> def. Cauchy-Folge
>  
> [mm]\forall \epsilon >0 \exists N=N(\epsilon) \in \mathbb N [/mm],
> sodass  [mm]\forall n,m \geq N[/mm] gilt  [mm]d(a_n,a_m)<\epsilon \forall n,m[/mm]
>  
> Bew.:
>
> Sei  [mm]f:X -> Y [/mm]glm.stetig  [mm]\Rightarrow \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 [/mm]
> mit  [mm]\forall x,y \in X d_X(x,y)< \delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))< \epsilon.[/mm]
>  
> Seien nun [mm](x_n)_{n \in \mathbb N}[/mm] und  [mm](x_a)_{a \in \mathbb N} [/mm]Cauchy-Folgen
> in  [mm]X [/mm].

> Da nun  [mm]\delta >0 [/mm]gilt.

was soll dieser Satz?

> [mm]\forall \delta >0 \exists N=N(\delta) \in \mathbb N [/mm],
> sodass [mm]\forall n,m\geq N [/mm]gilt  [mm]d((x_n),(x_a))<\delta[/mm]  
> [mm]\forall n,m\geq N [/mm]. Jedoch existiert jetzt durch die
> Definition der glm.Stetigkeit für alle  [mm]\epsilon >0 [/mm]ein  
> [mm]\delta >0 [/mm].
>  
> Daraus folgt durch glm.Stetigkeit  
> [mm]d_y(f(x_n),f(x_a))<\epsilon[/mm]
>  
> So wird durch die glm.Stetigkeit von f jede Cauchy-Folge
> auf eine Cauchy-Folge abgebildet

Das ist noch zu sortieren: Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ das [mm] $\delta$ [/mm] aus der
glm. Stetigkeit.

(Was Du mit zwei Cauchyfolgen da wolltest, weiß ich auch nicht...)

Sei nun [mm] $(x_n)$ [/mm] Cauchy in [mm] $X\,.$ [/mm] Zu dem [mm] $\delta [/mm] > 0$ (aus der glm. Stetigkeit) gibt
es (wegen der CF-Eigenschaft) ein [mm] $N\,$ [/mm] mit

    [mm] $d_X(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge N\,.$ [/mm]

Aus der glm. Stetigkeit folgt

    [mm] $d_Y(f(x_n),f(x_m)) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle diese $n,m [mm] \ge N\,.$ [/mm]
  
Das ist auch schon der Beweis, dass [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] CF in [mm] $Y\,$ [/mm] ist! (Schreib' Dir
vielleicht mal auf, was eigentlich zu zeigen ist!)

> Bei der  B) glaube ,dass das nicht der Fall ist,aber ich
> weis keinen Beweis..pardon

Ein Gegenbeispiel reicht: Betrachte $f [mm] \colon [/mm] (0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit

    [mm] $f(x):=1/x\,.$ [/mm]

Die Folge [mm] $(1/n)_n$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $(0,1]\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, also ist
sie auch Cauchy.

Was ist aber

    [mm] $\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|$? [/mm]

Was bringt Dir diese Erkenntnis?

P.S. Auch kurz ein Argument liefern, warum [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit und Cauchyfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Do 13.11.2014
Autor: LGS

Hallo :)


$ [mm] f(x):=1/x\,.$ [/mm]

$ [mm] \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] =  | [mm] \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ [/mm] | = 1$

das heißt die cauchy folge  ist $ [mm] \frac{1}{(n)}_{n \in \mathbb N}$ [/mm]

mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}| [/mm] = 0 und

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] =  | [mm] \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ [/mm] | = 1


Das heißt 1. die funktion ist nicht gleichmäßig stetig, weil beide Grenzwerte dann identisch hätten sein müssen

und 2. die cauchy-Folge wird nicht auf eine CF abgebildet, weil sonst ein identischer grenzwert raus kommen würde richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit und Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Do 13.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo :)
>  
>
> [mm]f(x):=1/x\,.[/mm]
>  
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right| = | \frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\ | = 1[/mm]
>  
> das heißt die cauchy folge  ist [mm]\frac{1}{(n)}_{n \in \mathbb N}[/mm]

nein: [mm] $(\tfrac{1}{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Cauchyfolge! Sowas wie "1/Folge"
kenne ich hier nicht... schreibt man so auch nicht!

> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}|= 0[/mm]

Das stimmt zwar, aber wozu ist diese Beobachtung gut?

> und
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|[/mm]
> =  | [mm]\frac{1}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{\frac{1}{n}}\[/mm] | = 1
>
>
> Das heißt 1. die funktion ist nicht gleichmäßig stetig,
> weil beide Grenzwerte dann identisch hätten sein müssen

Das hat nichts damit zu tun, dass die Grenzwerte (welche denn überhaupt?)
identisch hätten sein müssen. Wir haben gelernt:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig ist, dann gilt für jede Cauchyfolge (CF) des Definitionsbereichs,
dass die Bildfolge auch Cauchy sein muss.

[mm] $(1/n)_n$ [/mm] ist CF. Wäre [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig, so müßte auch

    [mm] $(f(1/n))_n$ [/mm] CF

sein. Insbesondere müßte es zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit

    (*) [mm] $\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] < [mm] \epsilon=1$ [/mm] für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$

geben. Für $n [mm] \ge [/mm] N$ ist auch $m:=n+1 [mm] \ge [/mm] N$ und dann aber

    [mm] $\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,.$ [/mm]
  
Passt das zu (*)?

> und 2. die cauchy-Folge wird nicht auf eine CF abgebildet,
> weil sonst ein identischer grenzwert raus kommen würde
> richtig ?

Cauchyfolgen müssen noch nicht mal konvergieren.... das ist nur in
vollständigen metrischen Räumen der Fall. Wir waren zwar durchaus in
dem vollständigen Raum [mm] $(\IR,d_{|.|})\,,$ [/mm] aber nochmal: Von welchen Grenzwerten
redest Du überhaupt?

P.S. Warum ist das zuletzt genannte [mm] $f\colon [/mm] (0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=1/x$ (für $0 < x [mm] \le [/mm] 1$)
denn überhaupt stetig?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit und Cauchyfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Do 13.11.2014
Autor: LGS

Nein

"Für $ n [mm] \ge [/mm] N $ ist auch $ m:=n+1 [mm] \ge [/mm] N $ und dann aber $ [mm] \left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,. [/mm] $ " passt nicht zu  "(*) $ [mm] \left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| [/mm] < [mm] \epsilon=1 [/mm] $ für alle $ n,m [mm] \ge [/mm] N $ ", denn dort ist es für alle $ n,m [mm] \ge [/mm] N $ und nicht mit einem $m$ was  in Abhängigkeit  steht zu $ n$ .

zur stetigkeit. Na ich hätte jetzt die glm.stetig mit Folgekriterium wiederlegt,woraus die stetigkeit folgt,oder ist das eine schlechte idee?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit und Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:47 Fr 14.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Nein
>
> "Für [mm]n \ge N[/mm] ist auch [mm]m:=n+1 \ge N[/mm] und dann aber
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right|=\left|f(\tfrac{1}{n+1})-f(\tfrac{1}{n})\right|=1\,.[/mm]
> " passt nicht zu  "(*)
> [mm]\left|f(\tfrac{1}{m})-f(\tfrac{1}{n})\right| < \epsilon=1[/mm]
> für alle [mm]n,m \ge N[/mm] ", denn dort ist es für alle [mm]n,m \ge N[/mm]
> und nicht mit einem [mm]m[/mm] was  in Abhängigkeit  steht zu [mm]n[/mm] .

Du musst lernen, genau das zu formulieren, was Du meinst. Ich werde aus
Deiner Art der Begründung nicht schlau.

Nochmal: Wäre [mm] $(f(1/n))_n$ [/mm] CF, dann gibt es auch zu [mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein $N$ so, dass

    $|f(1/m)-f(1/n)| < 1$ für alle $n,m [mm] \ge N\,.$ [/mm]
  
Für $n [mm] \ge [/mm] N$ ist aber auch $m:=n+1 [mm] \ge N\,,$ [/mm] also muss insbesondere auch

    $|f(1/(n+1))-f(1/n)| < 1$

sein. Links steht aber [mm] $1\,,$ [/mm] und jetzt steht da, dass

    $1 < [mm] 1\,$ [/mm]

ist. Was ist das wohl?

> zur stetigkeit. Na ich hätte jetzt die glm.stetig mit
> Folgekriterium wiederlegt,woraus die stetigkeit folgt,oder
> ist das eine schlechte idee?

Du widerlegst die glm. Stetigkeit mit dem Folgenkriterium und daraus soll
dann angeblich Stetigkeit folgen? Das ist doch sinnfrei.

Du kannst aber meinetwegen gerne mit dem Folgenkriterium zeigen, dass
die Funktion stetig ist. Es ist dann zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in (0,1]\,,$ [/mm] so gilt für jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $(0,1]$ mit [mm] $x_n \to x_0\,,$ [/mm] dass

    [mm] $f(x_n)=1/x_n \to f(x_0)=1/x_0\,\,.$ [/mm]

Na dann: Sei [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1]$ beliebig, aber fest. Seien nun [mm] $x_n\,$ [/mm] nur ausgestattet
mit den Eigenschaften

    [mm] $x_n \in [/mm] (0,1]$ und so, dass [mm] $x_n \to x_0\,.$ [/mm]

Dann gilt

    [mm] $f(x_n)=...$ [/mm]

Jetzt Du!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de