Stetigkeit und offene Umgebung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 09.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
Hallo,
ich möchte die Funktion
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
anschauen.
a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen) Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] annimmt und
b) Wenn wir den Definitionsbereich in D = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: [/mm] |y| [mm] \le |x|^{\alpha}} [/mm] ändern, dass f dann in (0,0) stetig ist.
Meine Ansätze sind:
zu a) Ich habe erstmal gezeigt, dass die Funktionswert angenommen werden:
Für y = x:
lim f(x,y) = lim [mm] \bruch{xx}{x^{2}+x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Für y = - x:
lim f(x,y) = lim [mm] \bruch{x(-x)}{x^{2}+x^{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
Nun müssen wir das mit der Umgebung klären, aber wie mache ich das jetzt ?
zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
[mm] \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}} [/mm]
Das müssen wir ja weiter abschätzen und dann ein passendes [mm] \Delta [/mm] finden, aber hier sehe ich wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht ...
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich möchte die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> anschauen.
>
> a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen werden?
Nunja, für [mm] $x*y\not=0$ [/mm] gilt:
[mm] $$\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge [/mm] 0$$
[mm] $$\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.$$
[/mm]
Da die letzte Ungleichung stets wahr ist, impliziert die obige Rechnung die
Behauptung, indem man sie von unten nach oben liest und die [mm] $\Longleftarrow$'s [/mm] in den [mm] $\iff$'s [/mm] benutzt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 09.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
> Hallo,
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> > Hallo,
> >
> > ich möchte die Funktion
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > anschauen.
> >
> > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
>
> meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> werden?
>
> Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
>
> [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
>
Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
> Da die letzte Ungleichung stets wahr ist, impliziert die
> obige Rechnung die
> Behauptung, indem man sie von unten nach oben liest und
> die [mm]\Longleftarrow[/mm]'s in den [mm]\iff[/mm]'s benutzt!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich möchte die Funktion
> > >
> > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > anschauen.
> > >
> > > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
> >
> > meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> > werden?
> >
> > Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> > [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
> >
> [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
> >
> > [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
> >
> Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist
> mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f
> in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den
> anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
was willst Du jetzt wissen? Es gilt für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$
[/mm]
$$|f(x,y)| [mm] \le \frac{1}{2}\,,$$
[/mm]
also für alle diese [mm] $(x,y)\,$
[/mm]
[mm] $$-\frac{1}{2} \le [/mm] f(x,y) [mm] \le \frac{1}{2}\,.$$
[/mm]
(Das ist doch klar, oder? Falls nicht, beweise $|r| [mm] \le \epsilon \iff -\epsilon \le [/mm] r [mm] \le \epsilon$ [/mm] für
alle [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0,$ $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] (Davon brauchst Du ja eigentlich auch nur die Folgerung [mm] $\Longrightarrow$).)
[/mm]
Zudem ist $f(0,0)=0 [mm] \in [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]\,.$
[/mm]
Ich versteh' Deine Frage daher nicht: Wenn [mm] $-\tfrac{1}{2} \le [/mm] f(x,y) [mm] \le \tfrac{1}{2}$ [/mm] sogar für alle
$(x,y) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] dann gilt insbesondere auch für jede [mm] $U:=U_\epsilon(0,0)$-Umgebung ($\epsilon [/mm] > 0$)
von [mm] $(0,0)\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\forall [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] U [mm] \Longrightarrow -\tfrac{1}{2} \le [/mm] f(x,y) [mm] \le \tfrac{1}{2}\,.$$
[/mm]
Denn es ist $U [mm] \subseteq \IR^2$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich möchte die Funktion
> > > >
> > > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > anschauen.
> > > >
> > > > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > > > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > > > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
> > >
> > > meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> > > werden?
> > >
> > > Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> > > [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
> > >
> > Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist
> > mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f
> > in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den
> > anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
>
> was willst Du jetzt wissen? Es gilt für alle [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
>
> [mm]|f(x,y)| \le \frac{1}{2}\,,[/mm]
> also für alle diese [mm](x,y)\,[/mm]
> [mm]-\frac{1}{2} \le f(x,y) \le \frac{1}{2}\,.[/mm]
>
> (Das ist doch klar, oder? Falls nicht, beweise [mm]|r| \le \epsilon \iff -\epsilon \le r \le \epsilon[/mm]
> für
> alle [mm]\epsilon \ge 0,[/mm] [mm]r \in \IR\,.[/mm] (Davon brauchst Du ja
> eigentlich auch nur die Folgerung [mm]\Longrightarrow[/mm]).)
>
> Zudem ist [mm]f(0,0)=0 \in [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]\,.[/mm]
>
>
> Ich versteh' Deine Frage daher nicht: Wenn [mm]-\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}[/mm]
> sogar für alle
> [mm](x,y) \in \IR^2\,,[/mm] dann gilt insbesondere auch für jede
> [mm]U:=U_\epsilon(0,0)[/mm]-Umgebung ([mm]\epsilon > 0[/mm])
> von [mm](0,0)\,,[/mm]
> dass
> [mm]\forall (x,y) \in U \Longrightarrow -\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}\,.[/mm]
>
> Denn es ist [mm]U \subseteq \IR^2[/mm]...
>
Mir war nicht bewusst das ich es so aufschreiben darf, Entschuldigung. Aber manchmal sind ja die offensichtlichsten Antworten auch die richtigen. Vielen Dank für den Anstoß und die Hilfe.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > ich möchte die Funktion
> > > > >
> > > > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > anschauen.
> > > > >
> > > > > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > > > > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > > > > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
> > > >
> > > > meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> > > > werden?
> > > >
> > > > Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> > > > [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
> > > >
> > > Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist
> > > mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f
> > > in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den
> > > anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
> >
> > was willst Du jetzt wissen? Es gilt für alle [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
>
> >
> > [mm]|f(x,y)| \le \frac{1}{2}\,,[/mm]
> > also für alle diese
> [mm](x,y)\,[/mm]
> > [mm]-\frac{1}{2} \le f(x,y) \le \frac{1}{2}\,.[/mm]
> >
> > (Das ist doch klar, oder? Falls nicht, beweise [mm]|r| \le \epsilon \iff -\epsilon \le r \le \epsilon[/mm]
> > für
> > alle [mm]\epsilon \ge 0,[/mm] [mm]r \in \IR\,.[/mm] (Davon brauchst Du ja
> > eigentlich auch nur die Folgerung [mm]\Longrightarrow[/mm]).)
> >
> > Zudem ist [mm]f(0,0)=0 \in [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]\,.[/mm]
>
> >
> >
> > Ich versteh' Deine Frage daher nicht: Wenn [mm]-\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}[/mm]
> > sogar für alle
> > [mm](x,y) \in \IR^2\,,[/mm] dann gilt insbesondere auch für jede
> > [mm]U:=U_\epsilon(0,0)[/mm]-Umgebung ([mm]\epsilon > 0[/mm])
> > von
> [mm](0,0)\,,[/mm]
> > dass
> > [mm]\forall (x,y) \in U \Longrightarrow -\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}\,.[/mm]
>
> >
> > Denn es ist [mm]U \subseteq \IR^2[/mm]...
> >
> Mir war nicht bewusst das ich es so aufschreiben darf,
> Entschuldigung. Aber manchmal sind ja die
> offensichtlichsten Antworten auch die richtigen. Vielen
> Dank für den Anstoß und die Hilfe.
aber jetzt ist Dir das alles klar, oder? Nur mal nebenbei: An welchen Punkt
"hattest Du Zweifel", dass Du das so aufschreiben dürftest?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 So 12.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
> Hallo,
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> > > Hallo,
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> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > ich möchte die Funktion
> > > > > >
> > > > > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
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> > > > > >
> > > > > > anschauen.
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> > > > > > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > > > > > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > > > > > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
> > > > >
> > > > > meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> > > > > werden?
> > > > >
> > > > > Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> > > > > [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
> > > > >
> > > > Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist
> > > > mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f
> > > > in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den
> > > > anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
> > >
> > > was willst Du jetzt wissen? Es gilt für alle [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]|f(x,y)| \le \frac{1}{2}\,,[/mm]
> > > also für alle diese
> > [mm](x,y)\,[/mm]
> > > [mm]-\frac{1}{2} \le f(x,y) \le \frac{1}{2}\,.[/mm]
> > >
> > > (Das ist doch klar, oder? Falls nicht, beweise [mm]|r| \le \epsilon \iff -\epsilon \le r \le \epsilon[/mm]
> > > für
> > > alle [mm]\epsilon \ge 0,[/mm] [mm]r \in \IR\,.[/mm] (Davon brauchst Du ja
> > > eigentlich auch nur die Folgerung [mm]\Longrightarrow[/mm]).)
> > >
> > > Zudem ist [mm]f(0,0)=0 \in [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]\,.[/mm]
>
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> > >
> > > Ich versteh' Deine Frage daher nicht: Wenn [mm]-\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}[/mm]
> > > sogar für alle
> > > [mm](x,y) \in \IR^2\,,[/mm] dann gilt insbesondere auch für jede
> > > [mm]U:=U_\epsilon(0,0)[/mm]-Umgebung ([mm]\epsilon > 0[/mm])
> > > von
> > [mm](0,0)\,,[/mm]
> > > dass
> > > [mm]\forall (x,y) \in U \Longrightarrow -\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}\,.[/mm]
>
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> > >
> > > Denn es ist [mm]U \subseteq \IR^2[/mm]...
> > >
> > Mir war nicht bewusst das ich es so aufschreiben darf,
> > Entschuldigung. Aber manchmal sind ja die
> > offensichtlichsten Antworten auch die richtigen. Vielen
> > Dank für den Anstoß und die Hilfe.
>
> aber jetzt ist Dir das alles klar, oder? Nur mal nebenbei:
> An welchen Punkt
> "hattest Du Zweifel", dass Du das so aufschreiben
> dürftest?
>
Vielen Dank für eure Hilfe.
Zweifel hatte ich nicht. Manchmal kann ich meine Gedanken nur nicht ordnen, also sagen wir mal so in meinen Kopf macht es Sinn, nur bin ich mir dann nicht sicher wenn ich formuliere ob es dann für einen "Außenstehenden" auch so sinnvoll erscheint ;)
Und manchmal bin ich einfach unsicher.
Aber vielen Dank für eure Hilfe.
Einen wundervollen Sonntag.
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > > > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > > > > > > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > > > > > > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
> > > > > >
> > > > > > meinst Du, dass dort NUR solche Funktionswerte angenommen
> > > > > > werden?
> > > > > >
> > > > > > Nunja, für [mm]x*y\not=0[/mm] gilt:
> > > > > > [mm]\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{1}{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\iff |x^2+y^2|-2|xy| \ge 0[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]\iff (|x|-|y|)^2 \ge 0\,.[/mm]
> > > > > >
> > > > > Das erscheint mir wirklich super nachvollziehbar, jetzt ist
> > > > > mir aber noch unklar, wie ich damit zeigen kann, dass ich f
> > > > > in einer beliebig (offenen) Umgebung um (0,0) mit den
> > > > > anzunehmenden 1/2 bzw. -1/2 darstellen kann.
> > > >
> > > > was willst Du jetzt wissen? Es gilt für alle [mm](x,y) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]|f(x,y)| \le \frac{1}{2}\,,[/mm]
> > > > also für alle
> diese
> > > [mm](x,y)\,[/mm]
> > > > [mm]-\frac{1}{2} \le f(x,y) \le \frac{1}{2}\,.[/mm]
> > >
> >
> > > > (Das ist doch klar, oder? Falls nicht, beweise [mm]|r| \le \epsilon \iff -\epsilon \le r \le \epsilon[/mm]
> > > > für
> > > > alle [mm]\epsilon \ge 0,[/mm] [mm]r \in \IR\,.[/mm] (Davon brauchst Du ja
> > > > eigentlich auch nur die Folgerung [mm]\Longrightarrow[/mm]).)
> > > >
> > > > Zudem ist [mm]f(0,0)=0 \in [-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}]\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Ich versteh' Deine Frage daher nicht: Wenn [mm]-\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}[/mm]
> > > > sogar für alle
> > > > [mm](x,y) \in \IR^2\,,[/mm] dann gilt insbesondere auch für jede
> > > > [mm]U:=U_\epsilon(0,0)[/mm]-Umgebung ([mm]\epsilon > 0[/mm])
> > > >
> von
> > > [mm](0,0)\,,[/mm]
> > > > dass
> > > > [mm]\forall (x,y) \in U \Longrightarrow -\tfrac{1}{2} \le f(x,y) \le \tfrac{1}{2}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Denn es ist [mm]U \subseteq \IR^2[/mm]...
> > > >
> > > Mir war nicht bewusst das ich es so aufschreiben darf,
> > > Entschuldigung. Aber manchmal sind ja die
> > > offensichtlichsten Antworten auch die richtigen. Vielen
> > > Dank für den Anstoß und die Hilfe.
> >
> > aber jetzt ist Dir das alles klar, oder? Nur mal nebenbei:
> > An welchen Punkt
> > "hattest Du Zweifel", dass Du das so aufschreiben
> > dürftest?
> >
> Vielen Dank für eure Hilfe.
> Zweifel hatte ich nicht. Manchmal kann ich meine Gedanken
> nur nicht ordnen, also sagen wir mal so in meinen Kopf
> macht es Sinn, nur bin ich mir dann nicht sicher wenn ich
> formuliere ob es dann für einen "Außenstehenden" auch so
> sinnvoll erscheint ;)
> Und manchmal bin ich einfach unsicher.
> Aber vielen Dank für eure Hilfe.
ich hatte aber auch die Aufgabenstellung anscheinend fehlinterpretiert.
Meine Rechnung zeigt ja, dass die Funktion NUR solche Funktionswerte
annimmt. Wolfgangs (oder Freds) Rechnung zeigt, dass auch tatsächlich
alle diese Werte angenommen werden, was wohl die eigentliche Aufgabe
war.
Ich hoffe, dass Dich das nicht verwirrt (hat)?!
Dir auch 'n tollen Rest-Sonntag!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Fr 10.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich möchte die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> anschauen.
>
> a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
annimmt und
> b) Wenn wir den Definitionsbereich in D = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}:[/mm]
> |y| [mm]\le |x|^{\alpha}}[/mm] ändern, dass f dann in (0,0) stetig
> ist.
>
> Meine Ansätze sind:
>
> zu a) Ich habe erstmal gezeigt, dass die Funktionswert
> angenommen werden:
>
> Für y = x:
>
> lim f(x,y) = lim [mm]\bruch{xx}{x^{2}+x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Für y = - x:
>
> lim f(x,y) = lim [mm]\bruch{x(-x)}{x^{2}+x^{2}}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun müssen wir das mit der Umgebung klären, aber wie
> mache ich das jetzt ?
>
> zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
>
> [mm]\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}}[/mm]
Das stimmt nicht !
Es ist [mm]|\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}| \le \bruch{|x|*|x|^{\alpha}}{x^{2}+y^2}[/mm] [mm] \le |x|^{\alpha-1}
[/mm]
Für [mm] \alpha> [/mm] 1 hat man dann Stetigkeit in (0,0) der Einschränkung von f auf den neuen Def.-Bereich
FRED
>
> Das müssen wir ja weiter abschätzen und dann ein
> passendes [mm]\Delta[/mm] finden, aber hier sehe ich wahrscheinlich
> den Wald vor lauter Bäumen nicht ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:55 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
> > Hallo,
> >
> > ich möchte die Funktion
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > anschauen.
> >
> > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> annimmt und
> > b) Wenn wir den Definitionsbereich in D = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}:[/mm]
> > |y| [mm]\le |x|^{\alpha}}[/mm] ändern, dass f dann in (0,0) stetig
> > ist.
> >
> > Meine Ansätze sind:
> >
> > zu a) Ich habe erstmal gezeigt, dass die Funktionswert
> > angenommen werden:
> >
> > Für y = x:
> >
> > lim f(x,y) = lim [mm]\bruch{xx}{x^{2}+x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Für y = - x:
> >
> > lim f(x,y) = lim [mm]\bruch{x(-x)}{x^{2}+x^{2}}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Nun müssen wir das mit der Umgebung klären, aber wie
> > mache ich das jetzt ?
> >
> > zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
> >
> > [mm]\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}}[/mm]
>
> Das stimmt nicht !
>
> Es ist [mm]|\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}| \le \bruch{|x|*|x|^{\alpha}}{x^{2}+y^2}[/mm]
> [mm]\le |x|^{\alpha-1}[/mm]
Das kann nachvollziehen, danke.
Aber was mir noch nicht ganz klar ist, dass daraus die Stetigkeit von f in (0,0) folgt.
Klar ist mir, dass durch die neuen Definitionen von x und y in D, dass meine Zahlenwerte in [mm] \IR^2 [/mm] positiv sind. (Oder ist das falsch gedacht?) Das hat aber bestimmt nichts mit der Stetigkeit zu tun, oder?
Tut mir leid, dass ich das offensichtliche nicht sehe.
Vielen Dank für die Hilfe
>
> Für [mm]\alpha>[/mm] 1 hat man dann Stetigkeit in (0,0) der
> Einschränkung von f auf den neuen Def.-Bereich
>
> FRED
>
> >
> > Das müssen wir ja weiter abschätzen und dann ein
> > passendes [mm]\Delta[/mm] finden, aber hier sehe ich wahrscheinlich
> > den Wald vor lauter Bäumen nicht ...
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe :)
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 So 12.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
> > >
> > > [mm]\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}}[/mm]
> >
> > Das stimmt nicht !
> >
> > Es ist [mm]|\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}| \le \bruch{|x|*|x|^{\alpha}}{x^{2}+y^2}[/mm]
> > [mm]\le |x|^{\alpha-1}[/mm]
>
> Das kann nachvollziehen, danke.
> Aber was mir noch nicht ganz klar ist, dass daraus die
> Stetigkeit von f in (0,0) folgt.
Für $u=(x, y)$ mit $|y| [mm] \le |x|^\alpha$ [/mm] ist nach FRED [mm] $\bigl|f(u)\bigr| \le \left|u^{\alpha-1}\right|\,,$ [/mm] und für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ erhalten wir
[mm] $|u|^{\alpha-1} [/mm] < [mm] \varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad [/mm] |u| < [mm] \varepsilon^{\frac 1 {\alpha-1}}\,,$
[/mm]
da die Potenzfunktion bei positiven Exponenten monoton steigt.
Ist [mm] $\alpha\ge [/mm] 1$, so gilt a) auch für das auf D eingeschränkte f, und f erweist sich so als in 0 nicht stetig.
Gruß Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 12.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
> > > > zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}}[/mm]
> > >
> > > Das stimmt nicht !
> > >
> > > Es ist [mm]|\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}| \le \bruch{|x|*|x|^{\alpha}}{x^{2}+y^2}[/mm]
> > > [mm]\le |x|^{\alpha-1}[/mm]
> >
> > Das kann nachvollziehen, danke.
> > Aber was mir noch nicht ganz klar ist, dass daraus die
> > Stetigkeit von f in (0,0) folgt.
>
> Für [mm]u=(x, y)[/mm] mit [mm]|y| \le |x|^\alpha[/mm] ist nach FRED
> [mm]\bigl|f(u)\bigr| \le \left|u^{\alpha-1}\right|\,,[/mm] und für
> [mm]\alpha > 1[/mm] erhalten wir
>
> [mm]|u|^{\alpha-1} < \varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad |u| < \varepsilon^{\frac 1 {\alpha-1}}\,,[/mm]
>
> da die Potenzfunktion bei positiven Exponenten monoton
> steigt.
>
> Ist [mm]\alpha\ge 1[/mm], so gilt a) auch für das auf D
> eingeschränkte f, und f erweist sich so als in 0 nicht
> stetig.
>
> Gruß Wolfgang
>
Aber das Problem ist, ich verstehe den Weg der Rechnung und alles aber laut Aufgabenstellung soll f im Punkt (0,0) ja stetig sein und nicht nicht stetig.
Aber wie zeig ich dann das es dort stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:56 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > > > zu b) Müssen wir die Ungleichung einsetzen:
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} \le \bruch{x*|x|^{\alpha}}{x^{2}+|x|^{2\alpha}}[/mm]
> > > >
> > > > Das stimmt nicht !
> > > >
> > > > Es ist [mm]|\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}| \le \bruch{|x|*|x|^{\alpha}}{x^{2}+y^2}[/mm]
> > > > [mm]\le |x|^{\alpha-1}[/mm]
> > >
> > > Das kann nachvollziehen, danke.
> > > Aber was mir noch nicht ganz klar ist, dass daraus
> die
> > > Stetigkeit von f in (0,0) folgt.
> >
> > Für [mm]u=(x, y)[/mm] mit [mm]|y| \le |x|^\alpha[/mm] ist nach FRED
> > [mm]\bigl|f(u)\bigr| \le \left|u^{\alpha-1}\right|\,,[/mm] und für
> > [mm]\alpha > 1[/mm] erhalten wir
> >
> > [mm]|u|^{\alpha-1} < \varepsilon \quad\Leftrightarrow\quad |u| < \varepsilon^{\frac 1 {\alpha-1}}\,,[/mm]
>
> >
> > da die Potenzfunktion bei positiven Exponenten monoton
> > steigt.
> >
> > Ist [mm]\alpha\ge 1[/mm], so gilt a) auch für das auf D
> > eingeschränkte f, und f erweist sich so als in 0 nicht
> > stetig.
> >
> > Gruß Wolfgang
> >
> Aber das Problem ist, ich verstehe den Weg der Rechnung und
> alles aber laut Aufgabenstellung soll f im Punkt (0,0) ja
> stetig sein und nicht nicht stetig.
> Aber wie zeig ich dann das es dort stetig ist?
Das kannst Du hoffentlich nicht zeigen, denn f ist in (0,0) nicht stetig. Dies folgt direkt aus a). Und f eingeschränkt auf D ist auch nicht in (0,0) stetig, falls [mm] $\alpha \le [/mm] 1$ ist.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Teuvo |
Okay. Vielen Dank für die Geduld.
Einen guten Start in die Woche.
Gruß Teuvo
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:18 Mo 13.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Aber das Problem ist, ich verstehe den Weg der Rechnung und
> alles aber laut Aufgabenstellung soll f im Punkt (0,0) ja
> stetig sein und nicht nicht stetig.
> Aber wie zeig ich dann das es dort stetig ist?
> Das kannst Du hoffentlich nicht zeigen, denn f ist in > (0,0) nicht stetig. Dies folgt direkt aus a). Und f > eingeschränkt auf D ist auch nicht in (0,0) stetig, falls $ > [mm] \alpha \le [/mm] 1 $ ist.
Warum ist damit jetzt die Aufgabenstellung geklärt? Also dass f im Punkt (0,0) stteig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Aber das Problem ist, ich verstehe den Weg der Rechnung
> und
> > alles aber laut Aufgabenstellung soll f im Punkt (0,0)
> ja
> > stetig sein und nicht nicht stetig.
> > Aber wie zeig ich dann das es dort stetig ist?
> > Das kannst Du hoffentlich nicht zeigen, denn f ist in >
> (0,0) nicht stetig. Dies folgt direkt aus a). Und f >
> eingeschränkt auf D ist auch nicht in (0,0) stetig, falls
> [mm]> \alpha \le 1[/mm] ist.
>
> Warum ist damit jetzt die Aufgabenstellung geklärt? Also
> dass f im Punkt (0,0) stteig ist?
manche Fragen sind doch wirklich sinnlos. Entweder denkt ihr nicht nach,
bevor ihr fragt, oder ihr fragt einfach mal wild in die Welt hinein. Was hatte
Wolfgang geschrieben?
Zitat Wolfgang:
> Das kannst Du hoffentlich nicht zeigen, denn f ist in (0,0)
> nicht stetig. Dies folgt direkt aus a).
Wenn Du daran zweifelst, dann begründe Deine Zweifel. Oder denke
drüber nach, dass bzw. ob Wolfgang recht hat. Aber einfach mal handeln
nach dem Motto:
"Ich picke mal was raus und stelle eine Frage dazu!"
Naja, das kann man in Laberfächern vielleicht machen...
P.S. Fast ohne nachzudenken kann ich Dir sagen, dass Wolfgang recht hat,
dass aus dem Beweis, dass auf JEDER Nullumgebung stets alle Werte
zwischen [mm] $-\tfrac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\tfrac{1}{2}$ [/mm] angenommen werden, in trivialer Weise die Nichstetigkeit
von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] folgt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> ich möchte die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> anschauen.
>
> a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
Hallo Teuvo,
wir zeigen: Auf jeder Umgebung U von 0 nimmt f jeden Wert zwischen -1/2 und 1/2 an.
Sei hierzu U eine Umgebung von 0. Dann gibt es ein r>0 mit [mm] $V=\{v \in \IR^2\colon |v| \le r\} \subset U\,.$
[/mm]
Die Verbindungsstrecke von [mm] $\bigl(r/\sqrt 2,\; -r/\sqrt 2\bigr)$ [/mm] nach [mm] $\bigl(r/\sqrt 2,\; r/\sqrt 2\bigr)$ [/mm] liegt in U, die Einschränkung von $f$ auf diese Strecke ist stetig und hat einen eindimensionalen Definitionsbereich. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt $f$ jeden Wert zwischen -1/2 und +1/2 an.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Sa 11.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > ich möchte die Funktion
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > anschauen.
> >
> > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
>
> Hallo Teuvo,
>
> wir zeigen: Auf jeder Umgebung U von 0 nimmt f jeden Wert
> zwischen -1/2 und 1/2 an.
>
> Sei hierzu U eine Umgebung von 0. Dann gibt es ein r>0 mit
> [mm]V=\{v \in \IR^2\colon |v| \le r\} \subset U\,.[/mm]
>
> Die Verbindungsstrecke von [mm]\bigl(r/\sqrt 2,\; -r/\sqrt 2\bigr)[/mm]
> nach [mm]\bigl(r/\sqrt 2,\; r/\sqrt 2\bigr)[/mm] liegt in U, die
> Einschränkung von [mm]f[/mm] auf diese Strecke ist stetig und hat
> einen eindimensionalen Definitionsbereich. Nach dem
> Zwischenwertsatz nimmt [mm]f[/mm] jeden Wert zwischen -1/2 und +1/2
> an.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Hallo Wolfgang,
ohne Stetigkeit etc... :
Sei a [mm] \in [/mm] [-1/2 ,1/2]. Bestimme b so, dass [mm] \bruch{b}{1+b^2}=a [/mm] ist.
(Das geht, denn obige qudratische Gl. für b hat wegen a [mm] \in [/mm] [-1/2 ,1/2] eine reelle Lösung).
Mit x [mm] \ne [/mm] 0 setze y=bx.
Dann ist f(x,y)=a.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > ich möchte die Funktion
> >
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > anschauen.
> >
> > a) Ich möchte zeigen, dass f zu einer beliebigen (offenen)
> > Umgebung von (0,0) die Funktionswerte zwischen
> > [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}[/mm] annimmt
>
> Hallo Teuvo,
>
> wir zeigen: Auf jeder Umgebung U von 0 nimmt f jeden Wert
> zwischen -1/2 und 1/2 an.
ah okay, da hatte ich die Aufgabenstellung komplett fehlinterpretiert ^^
Danke für die Ergänzung (auch von Fred) bzw. - in diesem Sinne sogar -
korrigierende Ergänzung ^^
Gruß,
Marcel
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