Stetigkeit untersuchen/zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Blabb |
| Aufgabe 1 | Folgende Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] soll auf Stetigkeit untersucht werden:
f(x) = |[x + [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] - x|
([ ] soll die Abrundungsfunktion sein. Tiefgestellt scheint das hier nicht zu gehen.) |
| Aufgabe 2 | Zeigen, dass die Funktion [mm] g:\IR\to\IR [/mm] mit
[mm] g(x)=\begin{cases} x\sin \bruch{1}{x} & \mbox{falls } x\not=0 \\ 0 & \mbox{falls } x = 0\end{cases} [/mm] stetig ist. |
Bei beiden Aufgaben komme ich etwas ins Grübeln.
Also bei Aufgabe 1 glaube ich, dass die Funktion stetig ist, zumindest sieht der Graph so aus. Jetzt weiß ich ja, dass die Abrundungsfunktion für alle Zahlen aus [mm] \IR\setminus\IZ [/mm] stetig ist, d.h. auch f ist an diesen Stellen stetig, da die - x und die Betragsfunktion ja an der Stetigkeit nichts ändern. Muss ich jetzt nur noch für die unstetigen Stellen aus [x + [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] zeigen, dass diese jetzt in f auch stetig sind? Es wurde nämlich angedeutet man müsse zwei Stellen näher untersuchen, was mich etwas wundert. Ich weiß auch nicht so recht, wie ich mit dem Folgenkriterium (was wir hauptsächlich benutzt haben) und der Abrundung umgehen soll.
Bei Aufgabe 2 fehlen mir auch gute Ideen. [mm] \sin{x} [/mm] ist ja stetig, [mm] \sin \bruch{1}{x} [/mm] ist wiederum unstetig, wenn man x=0 als 0 definiert. Reicht es hier auch aus zu argumentieren, dass [mm] x\sin \bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] stetig und sich dann mit Folgen die gegen 0 streben zu befassen? Irgendwie habe ich Probleme, sowas für jede mögliche Folge zu zeigen.
Wir hatten auch noch den Satz, dass für eine Funktion f, die stetig in einem Punkt [mm] x_{0} [/mm] ist und bei der [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0 ist auch das Produkt mit einer beschränkten Funktion g, also f*g in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist. Hilft das? Schließlich ist [mm] \sin \bruch{1}{x} [/mm] beschränkt und x stetig in 0 (und dort auch gleich 0).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin Blabb,
zu Aufgabe 1)
Du hast Recht, du musst einzig die Stetigkeit in [mm] $\IZ [/mm] + [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] überprüfen.
Also sei $z [mm] \in \IZ$, [/mm] dann musst du überprüfen, ob f in [mm] z+$\frac{1}{2}$ [/mm] stetig ist.
Das würde ich ganz klassisch machen mit dem, was hier epsilon-delta-Kriterium genannt wird:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Stetigkeit_reeller_Funktionen
zu Aufgabe 2)
Wenn ihr den Satz mit den beschränkten Funktionen so wie du ihn schilderst schon hattet hilft das sehr, ja.
Denn du betrachtest ja [mm]\lim_{x \to 0} x*sin\frac{1}{x}[/mm]
Weißt du nun, dass der Sinus beschränkt ist, so weißt du, dass [mm]sin\frac{1}{x} < \infty \forall x \in \IR[/mm] und bist praktisch fertig.
Um das etwas klarer zu sehen könnte auch eine kleine Substitution helfen:
[mm]\lim_{x \to 0} x*sin\frac{1}{x} = \lim_{y \to \infty}\frac{sin(y)}{y}[/mm] mit [mm]y = \frac{1}{x}[/mm]
Bei der rechten Seite dürfte recht eindeutig sein, wie dir dass Wissen, dass der Sinus beschränkt ist, hilft.
(wobei der Teil mit der Substitution nur gedacht ist damit du siehst wieso du praktisch fertig bist wenn du weißt, dass der sinus beschränkt ist. Um das ganze ganz formal, sauber etc. zu machen müsste man da noch etwas mehr schreiben, also nicht so abgeben^^)
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