Stetigkeit von Funktionen < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Sa 03.01.2009 | | Autor: | nerg |
| Aufgabe 1 | Stetigkeit: Bestimmen Sie die Menge [mm] M=\{x\in \IR:f(x) \in \IR\} [/mm] für jeden der nachstehenden Ausdrücke f(x). Für welche [mm] x_0 \in [/mm] M ist die Funktion stetig in [mm] x_0? [/mm] Begründen Sie ihre Aussagen.
[mm] f(x)=(\wurzel{x+1}+2\wurzel{x-2}+\wurzel{x+3})(x-5\wurzel{x}+6)^{-1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] f(x)=\bruch{x^2+x-2}{x^2+2x} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | f(x)=x-[x], wobei [x]:=z, falls z [mm] \in \IZ [/mm] und z [mm] \le [/mm] x < z+1 |
Guten Abend beisammen!
Meine Lösungen:
1.)
Ich habe mir den Graphen aufgemalt. Offensichtlich ist [mm] f:[2,\infty[ [/mm] ohne [mm] \{4,9\} [/mm] ->R
Also ist das gefragte [mm] M=[2,\infty[ [/mm] ohne [mm] \{4,9\}
[/mm]
Der Graph läuft asymptotisch in [mm] ]9,\infty[ [/mm] gegen 0, dahe auch [mm] \lim_{n \to \infty}f(x)=0
[/mm]
Für große x gilt:
[mm] f_1(x)=\bruch{\wurzel{x}+2\wurzel{x}+\wurzel{x}}{x-5\wurzel{x}+6}
[/mm]
also [mm] \lim_{n \to \infty}f_1(x)=\lim_{n \to \infty} \bruch{4\wurzel{x}}{x-5\wurzel{x}+6}=\lim_{n \to \infty} \bruch{\wurzel{x}(4)}{\wurzel{x} (\wurzel{x}-5+\bruch{6}{\wurzel{x}})}=\lim_{n \to \infty} \bruch{4}{\wurzel{x}-5+\bruch{6}{\wurzel{x}}}=\bruch {4}{\infty -5 +0}=0
[/mm]
Stetigkeit an Punkten [mm] x_0=\{4,9\}
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 4+}f(x)=-\infty
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 4-}f(x)=+\infty
[/mm]
nicht stetig bei [mm] \{4\}, [/mm] ist aber auch nicht im Definitionsbereich
[mm] \lim_{x \to 9+}f(x)=+\infty
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 9-}f(x)=-\infty
[/mm]
nicht stetig bei [mm] \{9\}, [/mm] ist aber auch nicht im Definitionsbereich
Muss ich jetzt noch andere Punkte untersuchen? Die Frage lautet ja, für welche [mm] x_0 [/mm] die Funktion stetig ist.
Es is ja f(3.9)=295 und f(4.1)=-322 Daher kann sie ja nicht stetig (auch nicht stetig fortsetzbar) sein, oder? Das gleiche gilt für f(9.1)=709 und f(8.9)=-721
Aufgabe 2.)
nach Partialbruchzerlegung folgt [mm] f(x)=1-\bruch{1}{x}
[/mm]
Es gilt: [mm] f:[2,\infty[ [/mm] ohne [mm] \{0\}->R
[/mm]
Also ist das gefragte [mm] M=[2,\infty[ [/mm] ohne [mm] \{0\}
[/mm]
Stetigkeit an Punkt [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 0+}f(x)=-\infty
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 0-}f(x)=+\infty
[/mm]
nicht stetig, ist aber auch nicht im Definitionsbereich
Es is ja f(0.1)=-9 und f(-0.1)=11 Daher kann sie ja nicht stetig (auch nicht stetig fortsetzbar) sein, oder?
Aufgabe 3.)
Beweis: f:R->[0,1] TM von [mm] \IR
[/mm]
[mm] x\ge0: x\ge[x] \Rightarrow f(x)\ge0
[/mm]
[mm] x\le0: xf=[X]\gex \Rightarrow x_1=-x,f(x_1)=-x-[-x]=-x+xf\ge0
[/mm]
max(x,[x])=x daher [mm] x-[x]\le1 [/mm] also f(x) [mm] \in [/mm] [0,1]
Das gefragte M ist [mm] \IR
[/mm]
Ich hätte jetzt erwartet, da [x] ja unstetig ist, dass x-[x] ebenfalls unstetig ist. Leider habe ich kein [mm] x_0 [/mm] herausgefunden, sodass der links- und rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich wird.
[mm] \lim_{x \to 0+}f(x)=0
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 0-}f(x)=0
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 1+}f(x)=0
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 1-}f(x)=0
[/mm]
....
[mm] \lim_{x \to 1.5+}f(x)=0.5
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 1.5-}f(x)=0.5
[/mm]
Gibt es so ein [mm] x_0, [/mm] mit dem der rechts- und linksseitige GW nicht gleich sind? Wie kann man zeigen, dass f nicht stetig ist? Reicht es zu sagen, dass die Komposition von einer stetigen und unstetigen Funktion nicht stetig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Sa 03.01.2009 | | Autor: | nerg |
Aha, zu Aufgabe 3 habe ich eine Folge gefunden [mm] x_n=x-\bruch{1}{n} [/mm] mit lim [mm] (x_n)=x,x->\infty.
[/mm]
Dann ist (wenig ausführlich) lim [mm] f(x)=1,x->\infty [/mm] aber f(a)=a-a=0, wenn a [mm] \in \IZ [/mm] Die Funktion ist daher nicht stetig, wenn a aus Z ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
> > Es gilt: [mm]f:[2,\infty[[/mm] ohne [mm]\{0\}->R[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was hast Du gegen die nagativen Zahlen? Mein
> Definitionsbereich lautet hier:
> [mm]D_f \ = \ \IR\backslash\left\{-2; 0\right\}[/mm]
>
Ja, das hat sich eingeschlichen. Ich wollte sagen:
[mm]D_f \ = \ \IR\backslash\left\{0\right\}[/mm]
Jetzt fällt mir auf, dass die Polynomdivision offensichtlich mir ein Polynom mit einer Nullstelle weniger geliefert hat. Ist das immer so? (Also 1 Grad weniger, 1 potentielle Nullstelle weniger)?
Mit [mm]D_f \ = \ \IR\backslash\left\{-2; 0\right\}[/mm] hast du Recht
Der Limes der Funktion bei -2 ist 1/2 (links und rechtsseitig gleich). Das finde ich jetzt höchst interessant, habe damit überhaupt nicht gerechnet.
Das heißt jetzt, dass -2 eine stetig hebare Definitionslücke ist im Gegensatz zu 0. Ergo ist die Funktion nicht stetig (ist zweigeteilt in ... naja zwei Zweige)
> > Es is ja f(0.1)=-9 und f(-0.1)=11 Daher kann sie ja nicht
> > stetig (auch nicht stetig fortsetzbar) sein, oder?
>
> Richtig. Und was ist nun noch mit [mm]x_0 \ = \ -2[/mm] ?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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Hallo nerg,
> Stetigkeit: Bestimmen Sie die Menge [mm]M=\{x\in \IR:f(x) \in \IR\}[/mm]
> für jeden der nachstehenden Ausdrücke f(x). Für welche [mm]x_0 \in[/mm]
> M ist die Funktion stetig in [mm]x_0?[/mm] Begründen Sie ihre
> Aussagen.
>
> [mm]f(x)=(\wurzel{x+1}+2\wurzel{x-2}+\wurzel{x+3})(x-5\wurzel{x}+6)^{-1}[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{x^2+x-2}{x^2+2x}[/mm]
> f(x)=x-[x], wobei [x]:=z, falls z [mm]\in \IZ[/mm] und z [mm]\le[/mm] x <
> z+1
> Guten Abend beisammen!
>
> Meine Lösungen:
>
> 1.)
> Ich habe mir den Graphen aufgemalt. Offensichtlich ist
> [mm]f:[2,\infty[[/mm] ohne [mm]\{4,9\}[/mm] ->R
> Also ist das gefragte [mm]M=[2,\infty[[/mm] ohne [mm]\{4,9\}[/mm]
Betrachte hier den Zähler und Nenner der Funktion.
Da man die Wurzel nur aus positiven reellen Zahlen ziehn kann, muß
[mm]x+1 \ge 0 \wedge x-2 \ge 0 \wedge x+3 \ge 0[/mm]
gelten.
Dies wird erfüllt für [mm]x \ge 2[/mm].
Damit ist der Definitionsbereich des Zählers [mm]\left[2,\infty\right[[/mm]
Davon müssen allerdings die Nullstellen des Nenners ausgenommen werden:
Demnach ist [mm]M=\left[2,\infty\right[ \setminus \left\{4,9\right\}[/mm]
>
> Der Graph läuft asymptotisch in [mm]]9,\infty[[/mm] gegen 0, dahe
> auch [mm]\lim_{n \to \infty}f(x)=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für große x gilt:
>
> [mm]f_1(x)=\bruch{\wurzel{x}+2\wurzel{x}+\wurzel{x}}{x-5\wurzel{x}+6}[/mm]
> also [mm]\lim_{n \to \infty}f_1(x)=\lim_{n \to \infty} \bruch{4\wurzel{x}}{x-5\wurzel{x}+6}=\lim_{n \to \infty} \bruch{\wurzel{x}(4)}{\wurzel{x} (\wurzel{x}-5+\bruch{6}{\wurzel{x}})}=\lim_{n \to \infty} \bruch{4}{\wurzel{x}-5+\bruch{6}{\wurzel{x}}}=\bruch {4}{\infty -5 +0}=0[/mm]
Eigentlich ist hier die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] zu betrachten.
>
> Stetigkeit an Punkten [mm]x_0=\{4,9\}[/mm]
>
> [mm]\lim_{x \to 4+}f(x)=-\infty[/mm]
> [mm]\lim_{x \to 4-}f(x)=+\infty[/mm]
>
> nicht stetig bei [mm]\{4\},[/mm] ist aber auch nicht im
> Definitionsbereich
> [mm]\lim_{x \to 9+}f(x)=+\infty[/mm]
> [mm]\lim_{x \to 9-}f(x)=-\infty[/mm]
>
> nicht stetig bei [mm]\{9\},[/mm] ist aber auch nicht im
> Definitionsbereich
Demnach gibt es senkrechte Asymptoten: [mm]x=4[/mm] und [mm]x=9[/mm]
> Muss ich jetzt noch andere Punkte untersuchen? Die Frage
> lautet ja, für welche [mm]x_0[/mm] die Funktion stetig ist.
Nein, diese Punkte hast Du ja schon mit M angegeben.
>
> Es is ja f(3.9)=295 und f(4.1)=-322 Daher kann sie ja nicht
> stetig (auch nicht stetig fortsetzbar) sein, oder? Das
> gleiche gilt für f(9.1)=709 und f(8.9)=-721
In der Tat, sie ist auch an diesen Stellen nicht stetig fortsetzbar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
> Eigentlich ist hier die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] zu
> betrachten.
>
Ich dachte bisher, dass man ohne Probleme solche Abschätzungen vornehmen kann (ohne dass sich das Konvergenzverhalten ändert). [mm] \infty+x [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm] ist ja [mm] \infty. [/mm] Ob ich nun [mm] (x+5)^{\bruch{1}{2}} [/mm] oder [mm] (x+5)^{1} [/mm] habe, ändert es ja nichts am Konvergenzverhalten. Ist die Betrachtung dieser simplifizierten Funktion nicht zulässig?
In der Übung wurde mal eine Aufgabe so abgearbeitet, meine ich.
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Hallo nerg,
> > Eigentlich ist hier die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] zu
> > betrachten.
> >
> Ich dachte bisher, dass man ohne Probleme solche
> Abschätzungen vornehmen kann (ohne dass sich das
> Konvergenzverhalten ändert). [mm]\infty+x[/mm] mit x [mm]\in \IR[/mm] ist ja
> [mm]\infty.[/mm] Ob ich nun [mm](x+5)^{\bruch{1}{2}}[/mm] oder [mm](x+5)^{1}[/mm]
> habe, ändert es ja nichts am Konvergenzverhalten. Ist die
> Betrachtung dieser simplifizierten Funktion nicht
> zulässig?
>
Natürlich kannst Du die Funktion für große x abschätzen,
das ist legitim.
> In der Übung wurde mal eine Aufgabe so abgearbeitet, meine
> ich.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:44 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
Eine letzte Frage zum Schluß noch, ob die folgende Argumentation als mathematischer Beweis genügt:
Stetigkeit:
Zeige Existenz stetig nicht behebarer Defintionslücke
Genauer: Zeige (beibehaltenden) Vorzeichenwechsel bei stetig nicht behebarer Definitionslücke, sodass vor der Lücke "+" ("-"), nach der Lücke "-" ("+")...
dann ist die Funktion in zwei Äste aufgeteilt und nicht auf dem ganzen Definitionsbereich stetig.
Es genügt einen Punkt [mm] x_0 [/mm] zu nehmen, bei dem obiges gilt, um zu zeigen, dass die Funktion nicht stetig (auf dem ganzen Definitionsbereich) ist.
Oder anders: (folgt aus dem obigen) hat die Funktion zwei Asymptoten (nicht verbunden), dann ist sie nicht stetig (auf dem ganzen Definitionsbereich).
Stimmt das so und kann man die Unstetigkeit der obigen Funktionen 1.) und 2.) auf diese meine Weise begründen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Do 08.01.2009 | | Autor: | nerg |
Mist, das sollte natürlich keine Mitteilung werden. Damits gesehen wird, dieser Beitrag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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