Stetigkeit vs. Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y} \to f(x,y)=\begin{cases}
\bruch{xy}{x^2+y^2}, & \text{wenn }\vektor{x \\ y}\text{ ungleich 0,}\\
0, & \text{wenn }\vektor{x \\ y}\text{ gleich 0.}
\end{cases}
[/mm]
gegeben.
a) Zeigen Sie, mithilfe des Folgenkriteriums, dass die Funktion in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] unstetig ist.
b) Zeigen Sie mithilfe des Folgenkriteriums, dass die Funktion in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] auch keinen Grenzwert besitzt. |
Hallo,
wie Aufgabenteil a zu lösen ist verstehe ich. Und zwar zeigt man dass die Folge [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ \bruch{1}{k}}, [/mm] die ja gegen [mm] \vektor{0 \\ 0 \} [/mm] konvergiert, nicht gegen f(0, 0 ) = 0 , sondern gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert, womit nach dem Folgenkriterium für die Stetigkeit die Funktion Unstetig in [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist.
Jetzt meine Frage zu Teil b):
Laut meiner Musterlösung wird hier fast genauso vorgegangen, wie in Teil a). Nur dass die Folge [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ 0} [/mm] betrachtet wird und gezeigt wird, dass diese zwar gegen [mm] \vektor{0 \\ 0 } [/mm] konvergiert, aber die Bildfolge gegen Null und nicht gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
So, nun meine Frage. Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden gewählten Folgen. So dass ich einmal die Unstetigkeit gezeigt und beim anderen mal gezeigt habe, dass kein Grenzwert existiert?
Das verstehe ich nicht.
Kann mir das jemand sagen?
Viele Grüße,
tinky
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Do 20.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal ein Beispiel:
Sei
$f(x) = 0 $ für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $f(0)=123456789$
Dann ist f in 0 unstetig , hat aber in 0 einen Grenzwert.
FRED
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Hallo,
so war meine Frage nicht gemeint. Wie so eine Funktion aussehen kann, die an einer bestimmten Stelle einen Grenzwert hat, dort aber Unstetig ist, das wusste ich schon.
Ich verstehe, den Unterschied zwischen den beiden Folgen nicht, mit denen man einmal die Unstetigkeit zeigt und im zweiten Fall zeigt, dass in [mm] \vektor{ 0\\ 0} [/mm] kein Grenzwert vorliegt?????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 20.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Oben wurde die Folge $ [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ \bruch{1}{k}} [/mm] $ gewählt und gezeigt, dass die Bildfolge
f( [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ \bruch{1}{k}}) [/mm] nicht gegen f( $ [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] $)
konvergiert. Also Unstetigkeit von f im Nullpunkt.
Es gilt $f( [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ \bruch{1}{k}}) \to [/mm] 1/2$
Jetzt könnte es aber sein, dass für jede Folge [mm] \vektor{a_ k \\ b_k} [/mm] mit [mm] a_k \to [/mm] 0 und [mm] b_k \to [/mm] 0 die jeweilige Bildfolge ebenfalls gegen 1/2 konvergiert. Wäre die der Fall, so hätte f im Nullpunkt einen Grenzwert.
Dass dies nicht der Fall ist, zeigt die Folge [mm] \vektor{\bruch{1}{k} \\ 0}
[/mm]
FRED
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Hallo,
der Grenzwert muss hier eindeutig sein. Hat man aber zwei verschiedene Bildwerte herausgefunden, so kann kein Grenzwert existieren.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 20.08.2009 | | Autor: | tinky1234 |
Vielen Dank für die Antworten.
Hat sehr geholfen!
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