Stetigkeit x^3 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Di 17.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ist [mm] f(x)=x^3 [/mm] gleichmäßg stetig? [mm] \IR->\IR [/mm] |
Also [mm] x^3 [/mm] ist schonmal stetig, dass hab ich mit dem [mm] \epsilon, \delta [/mm] kriterium bewiesen.
Sei [mm] \delta [/mm] > 0, [mm] \epsilon [/mm] := 1
[mm] \forall [/mm] x und y= x + [mm] \delta/3
[/mm]
|y-x|= [mm] \delta/3 [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(y)-f(x)| = [mm] x^3- [/mm] (x + [mm] \delta/3)^3 [/mm] = - [mm] x^2 \delta [/mm] - x * [mm] {\delta}^2 [/mm] - [mm] \delta^3/27 [/mm] < 1
Ich komme da nicht weiter.Ich will einen Widerspruch haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]f(x)=x^3[/mm] gleichmäßg stetig? [mm]\IR->\IR[/mm]
> Also [mm]x^3[/mm] ist schonmal stetig, dass hab ich mit dem
> [mm]\epsilon, \delta[/mm] kriterium bewiesen.
>
> Sei [mm]\delta[/mm] > 0, [mm]\epsilon[/mm] := 1
> [mm]\forall[/mm] x und y= x + [mm]\delta/3[/mm]
das [mm] $\delta/3$ [/mm] ist nun ein wenig willkürlich. Aber gut: Wir haben schonmal bei $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] gesehen, dass [mm] $\delta/2$ [/mm] es tut. Um eine ähnliche Abschätzung wie da zu haben, könnten wir hier auch [mm] $\delta/2$ [/mm] wählen, denn "irgendwie laufen hier Funktionswerte noch schneller auseinander als bei der Quadratfunktion". Aber nun gut, das [mm] $\delta/3$ [/mm] sollte es also erst recht tun.
> |y-x|= [mm]\delta/3[/mm] < [mm]\delta[/mm]
Okay: Für jedes [mm] $x\,$ [/mm] gilt mit [mm] $y:=x+\delta/3$ [/mm] offenbar [mm] $|y-x|=\delta/3 [/mm] < [mm] \delta\,.$
[/mm]
> |f(y)-f(x)| = [mm]x^3-[/mm] (x + [mm]\delta/3)^3[/mm] = - [mm]x^2 \delta[/mm] - x *
> [mm]{\delta}^2[/mm] - [mm]\delta^3/27[/mm] < 1
> Ich komme da nicht weiter.Ich will einen Widerspruch
> haben.
Hier musst Du ein wenig aufpassen. Deine Umformung hängt stark davon ab, welche Vorzeichen [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] haben. Daher mache folgendes:
Anstatt [mm] $\forall [/mm] x$ schreibe oben [mm] $\forall [/mm] x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] oder lasse meinetwegen oben das [mm] $\forall [/mm] x$ stehen, aber ab nun betrachten wir nur noch $x [mm] \ge [/mm] 0$:
Für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(x+\delta/3)|=|x^3-(x+\delta/3)^3|=|-x^2\delta-(x/3)\delta^2-\blue{\delta}^3/27|=\frac{x}{3}\delta^2+x^2\delta+\frac{\blue{\delta}^3}{27}\,,$$
[/mm]
erwähnt sei: letztstehende Gleichheit benutzt die Voraussetzung $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Um damit Deinen Widerspruch zu erzeugen:
Es reicht nun, für [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $x=x_\delta [/mm] > 0$ so zu finden, dass in
[mm] $$\frac{x}{3}\delta^2+x^2\delta+\frac{\blue{\delta}^3}{27}$$
[/mm]
ein Summand $=1$ ist - denn die anderen beiden sind dann eh stets $ > [mm] 0\,.$
[/mm]
P.S.:
Nur als Hinweis: Dass eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] nicht glm. stetig ist, kann man auch so formulieren, dass es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ gibt, so dass es für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ zwei Stellen [mm] $x=x_\delta$ [/mm] und [mm] $y=y_\delta$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] gibt mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] und $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \epsilon_0\,.$ [/mm] Im Prinzip zeigst Du das auch oben. Mir ist nur wichtig, dass Du beachtest, dass man nicht immer [mm] $\epsilon_0=1$ [/mm] wählen kann. Betrachte etwa $x [mm] \mapsto \frac{1}{10}\sin(1/x)$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)\,.$ [/mm] Diese Funktion kann nicht glm. stetig sein (ich weiß nicht, wie klar Dir das ist? Sie ist aber stetig!), aber der Betrag der Differenz zweier Funktionswerte ist sicher stets [mm] $\le 2/10=1/5\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]f(x)=x^3[/mm] gleichmäßg stetig? [mm]\IR->\IR[/mm]
> Also [mm]x^3[/mm] ist schonmal stetig, dass hab ich mit dem
> [mm]\epsilon, \delta[/mm] kriterium bewiesen.
mal nebenbei: Natürlich kann man alles per Definitionem machen. Aber habt ihr keine anderen Kriterien? Wenn man noch nicht Aussagen der Art
"Verknüpfungen, Summen, Produkte stetiger Funktionen sind stetig" hat, dann kennt ihr doch sicher das Folgenkriterium?
Das bietet sich an: Ist [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest und ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $\lim x_n=x_0$ [/mm] (kurz notiert: [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$), [/mm] so ist zu zeigen
[mm] $$\lim f(x_n)=f(x_0)\,,$$
[/mm]
oder anders gesagt: Zu zeigen ist:
Falls [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, so darf an dieser Stelle "der Limes ins Argument gezogen werden":
[mm] $$\lim f(x_n)=f(\lim x_n)\,.$$
[/mm]
Beachte: Rechterhand steht eh [mm] $x_0\,,$ [/mm] da [mm] $\lim x_n=x_0\,.$
[/mm]
Wer also die Rechenregeln für Folgen beherrscht, kann hier leicht Stetigkeit beweisen - auch ohne [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Kriterium. [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 17.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Wer also die Rechenregeln für Folgen beherrscht, kann hier leicht Stetigkeit beweisen - auch ohne $ [mm] \epsilon-\delta-x_0 [/mm] $-Kriterium.
Doch,doch. Nur ich muss das $ [mm] \epsilon-\delta-x_0 [/mm] $-Kriterium üben, deshalb hab ich es mit diesem durchgeführt.
Danke hab ich sehr gut verstanden.
Darf ich fragen in welchen Bereich der Mathematik du tätig bist? Weil du kannst alles so erklären, dass ich es verstehe ;) (Meistens jedenfalls ;))
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> > Wer also die Rechenregeln für Folgen beherrscht, kann hier
> leicht Stetigkeit beweisen - auch ohne [mm]\epsilon-\delta-x_0 [/mm]-Kriterium.
> Doch,doch. Nur ich muss das [mm]\epsilon-\delta-x_0 [/mm]-Kriterium
> üben, deshalb hab ich es mit diesem durchgeführt.
das ist natürlich gut!
> Danke hab ich sehr gut verstanden.
> Darf ich fragen in welchen Bereich der Mathematik du
> tätig bist? Weil du kannst alles so erklären, dass ich es
> verstehe ;) (Meistens jedenfalls ;))
Naja, meine momentane Arbeit ist eigentlich weniger direkt im Bereich der Mathematik anzusiedeln - ich arbeite interdisziplinär (natürlich wird da auch oft Mathematik benutzt, leider anders, als ich's studiert habe - und leider auch in vielen Bereichen (auch der Mathematik), die ich nicht studiert habe - wobei das LEIDER dabei sich nur dann darauf bezieht, dass ich somit noch eine Menge zu lernen habe und wenig von meinen Kenntnissen benutzen kann).
Grob gesagt liegen meine "Ausbildungsschwerpunkte" aber alle im Bereich der Analysis. Da vergißt man auch sehr schnell sehr viel von den Vertiefungen, wenn man sich nicht laufend damit befaßt, aber diese hier doch eher "elementare Analysis" war schon immer eins meiner Lieblinge der Mathematik.
Gruß,
Marcel
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