Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion gezeigt werden:
$f : [mm] \IR^{+} \to \IR, f(x):=\bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}}$ [/mm] |
Hallo,
ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe. Zunächst die Definition für Stetigkeit:
Sei $D [mm] \subset \IR$ [/mm] und [mm] $x_{0} \in [/mm] D.$ Eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_{0},$ [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt derart, dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ gilt: Ist [mm] $\left| x - x_{0} \right|<\delta,$ [/mm] so ist [mm] $\left| f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon.$
[/mm]
Ich gehe die Aufgabe so an:
[mm] $\left| f(x)-f(x_{0}) \right|=$ \left| \bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}}-\bruch{x^2_0+5}{1+\wurzel{x^2_0+5}} \right|=...=...<\varepsilon$
[/mm]
Ist dieser Ansatz richtig?
Vielen Dank soweit. 
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
das ist zwar richtig, aber unsäglich aufwändig.
Müsst Ihr das wirklich allgemein und so von Anfang an "zu Fuß" zeigen?
Ansonsten gilt doch: Jede Verkettung stetiger Funktionen ist selbst wieder stetig.
Da alle Bestandteile Deiner Funktion solche stetigen Funktionen sind, ist doch nur sicherzustellen, dass der Nenner nicht Null werden kann. Und dann wärst Du schon fertig. Da [mm] x^2 [/mm] nicht kleiner als Null wird, ist der Nenner [mm] \ge\wurzel{5}+1\not={0}
[/mm]
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion gezeigt werden:
$ f : [mm] \IR^{+} \to \IR, f(x):=\bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}} [/mm] $ |
Hallo rev,
> Hallo el_grecco,
>
> das ist zwar richtig, aber unsäglich aufwändig.
> Müsst Ihr das wirklich allgemein und so von Anfang an "zu
> Fuß" zeigen?
ehrlich gesagt hatte ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen kann und bin bei meiner Google-Suche auf diesen ![[]](/images/popup.gif) Link gestoßen.
Jetzt wo ich weiß (danke dafür), dass es einen alternativen Ansatz gibt, glaube ich nicht, dass die diesen "Fußmarsch" verlangen.
> Ansonsten gilt doch: Jede Verkettung stetiger Funktionen
> ist selbst wieder stetig.
Erkennt man das durch bloßes Hinsehen / falls ja, wie?
> Da alle Bestandteile Deiner Funktion solche stetigen
> Funktionen sind, ist doch nur sicherzustellen, dass der
> Nenner nicht Null werden kann. Und dann wärst Du schon
> fertig. Da [mm]x^2[/mm] nicht kleiner als Null wird, ist der Nenner
> [mm]\ge\wurzel{5}+1\not={0}[/mm]
Bin momentan noch etwas blind, aber das liegt wohl an der Frage oben.
> Grüße
> reverend
Gruß
el_grecco
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Hi grec,
(rev ist völlig ok, grec ist eher ein Vorschlag...)
> > das ist zwar richtig, aber unsäglich aufwändig.
> > Müsst Ihr das wirklich allgemein und so von Anfang an
> "zu
> > Fuß" zeigen?
>
> ehrlich gesagt hatte ich keine Ahnung, wie ich diese
> Aufgabe angehen kann und bin bei meiner Google-Suche auf
> diesen
> Link
> gestoßen.
> Jetzt wo ich weiß (danke dafür), dass es einen
> alternativen Ansatz gibt, glaube ich nicht, dass die diesen
> "Fußmarsch" verlangen.
>
> > Ansonsten gilt doch: Jede Verkettung stetiger Funktionen
> > ist selbst wieder stetig.
>
> Erkennt man das durch bloßes Hinsehen / falls ja, wie?
Na, der Satz ist erstmal wesentlich und ein ziemlich alltägliches Werkzeug. In der Tat erkennt man das meiste mit recht wenig Übung durch "bloßes Hinsehen", eine typisch mathematisches Understatement für wohlerworbene und beherrschte Kenntnisse.
> > Da alle Bestandteile Deiner Funktion solche stetigen
> > Funktionen sind, ist doch nur sicherzustellen, dass der
> > Nenner nicht Null werden kann. Und dann wärst Du schon
> > fertig. Da [mm]x^2[/mm] nicht kleiner als Null wird, ist der Nenner
> > [mm]\ge\wurzel{5}+1\not={0}[/mm]
>
> Bin momentan noch etwas blind, aber das liegt wohl an der
> Frage oben.
Ja, wahrscheinlich. Das ist hier nicht schwer zu finden. Du fängst bei [mm] x^2 [/mm] an (immer [mm] \ge0 [/mm] ), dann ist [mm] x^2+5 [/mm] positiv und kann nicht kleiner als 5 werden, die Wurzel daraus also nicht kleiner als [mm] \wurzel{5}, [/mm] und dann steht der minimale Nenner ja sozusagen schon da.
Der Nenner macht also kein Problem, und im Zähler steht auch nichts, was Schwierigkeiten bereiten würde, wie z.B. [mm] \ln{\text{(irgendwas)}}, [/mm] wo man erstmal schauen müsste, ob das "irgendwas" nicht doch irgendwann Null oder noch kleiner wird. Na gut, es gibt eine Wurzel, aber genau diese haben wir ja gerade beim Nenner durchdacht. Die ist nicht heimtückisch.
Ergebnis: es liegt kein Problem vor, das man noch betrachten müsste. Stetig.
Das ist der Alltag. In einer Übungsaufgabe musst Du allerdings schon bei jedem Schritt zeigen, dass er gilt und warum. Und erst, wenn Du das blind und sicher drauf hast, auch mit 2 Promille nach einer Fete, mit 40°C Fieber und 48 Stunden ohne Schlaf, erst dann wirst und darfst Du alle Bedenken auf diesem Wege ausräumen. Bis dahin hast Du aber auch den Instinkt entwickelt, mittendrin "Moment mal!" zu rufen oder zu denken, und doch kleinschrittig und genau etwas zu überprüfen. Oft wird sich zeigen, dass Deine Intuition stimmte, und wenn nicht, dann hast Du sie für weitere Fälle geschärft.
Für den vorliegenden Fall solltest Du also überprüfen, ob es den von mir zitierten Satz überhaupt gibt, Dich informieren, wie man ihn beweisen kann (nein, das musst Du nicht selbst tun!), ob er auf Deine Aufgabe überhaupt zutrifft, und wenn ja, wie. Das heißt vor allem, die dann doch nicht so elementar gebaute Funktion kleinschrittig nachzubauen. Das ist hier nicht schwierig, aber man muss es mal machen, so oft, bis man die Fallen kennt.
Die Fallen sind aber eigentlich gar nicht so zahlreich. Da gibt es undefinierte Funktionen, also das Verlassen des Definitionsbereichs derselben (oft nur eine Teilfunktion). Z.B. könnte da der mögliche Term [mm] \ln{(1-x^2)} [/mm] stehen, der sicher immer Aufmerksamkeit erfodert (immerhin steht hinter dem Logarithmus ein [mm] \blue{-}x^2: [/mm] minus x Quadrat!), aber das muss noch kein Problem sein. Wenn an anderer Stelle aber deutlich ist, dass sowieso x>1 gilt oder auch nur möglich ist, dann hat die Stetigkeitsuntersuchung ja direkt eine Aufgabe vor sich.
Also geh diese Aufgabe ruhig ganz im Detail an. Das wirst Du zu diesem Thema nur einige wenige Male tun, danach weißt Du, wie es geht.
Herzliche Grüße
reverend
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion gezeigt werden:
$f : [mm] \IR^{+} \to \IR, f(x):=\bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}}$ [/mm] |
Hallo rev,
> Hi grec,
>
> (rev ist völlig ok, grec ist eher ein Vorschlag...)
absolut O.K.
Ich habe mich intensiv mit Deinem Text auseinander gesetzt und allmählich gewinne ich einen Durchblick beim Thema Stetigkeit. Zur besseren Übersicht habe ich auf Zitate jedoch verzichtet.
Die Aufgabe will doch von mir nichts anderes, außer dass ich die Funktion f nach eventuell auftretenden Sprüngen untersuche (treten Sprünge auf, dann ist f nicht stetig)...?
Hier der von Dir angesprochene wichtige Satz, aus Wikipedia übernommen:
"Sind f und g stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich D, so sind auch f + g, f - g, f * g und [mm] $\bruch{f}{g}$ [/mm] stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von [mm] $\bruch{f}{g}$ [/mm] für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich [mm] $D':=\{x \in D : g(x)\not=0\}$ [/mm] eingeschränkt werden."
Ich überlege, wie ich der Anforderung der Übungsaufgabe gerecht werden kann und stelle mir das so vor:
Teile zur Untersuchung auf Stetigkeit die gegebene Funktion f in zwei Teilfunktionen [mm] $a(x):=x^{2}+5$ [/mm] und [mm] $b(x):=1+\wurzel{x^{2}+5}$ [/mm] auf.
(Jetzt folgt im Grunde eine Wiederholung, von dem was Du schön erläutert hast:)
[mm] $x^{2}$ [/mm] immer [mm] $\ge [/mm] 0$, daraus folgt [mm] $x^{2}+5$ [/mm] positiv und [mm] $\ge [/mm] 5.$ $a(x)$ ist also stetig.
[mm] $\wurzel{x^{2}+5}\ge\wurzel{5}$ [/mm] und stetig, also [mm] $1+\wurzel{x^{2}+5}$ [/mm] stetig.
Gemäß dem obigen Satz aus Wikipedia muss ich vorher noch überprüfen, ob im Nenner eine Nullstelle existiert. Da vor der Wurzel aber ein 1+ steht und außerdem [mm] $\wurzel{x^{2}+5}\ge\wurzel{5}$, [/mm] kann es keine Nullstelle geben.
Also lässt sich der Satz anwenden und ich habe gezeigt, dass $f(x)$ stetig ist.
Was ich noch nicht wirklich verstanden habe ist, was man unter "Sprüngen" eigentlich genau versteht. Beispielsweise hat die Sinusfunktion für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 2\pi$ [/mm] doch auch zwei Sprünge und ich hätte niemals gedacht, dass sie stetig ist...?
> Herzliche Grüße
> reverend
Viele Grüße
&
schöne Feiertage!
grec
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Hi grec,
>
> Was ich noch nicht wirklich verstanden habe ist, was man
> unter "Sprüngen" eigentlich genau versteht. Beispielsweise
> hat die Sinusfunktion für [mm]0 \le x \le 2\pi[/mm] doch auch zwei
> Sprünge und ich hätte niemals gedacht, dass sie stetig
> ist...?
Die Sinusfunktion macht keine Sprünge (nicht solche, von der man in Bezug auf Stetigkeit spricht - was verstehst du denn unter "Sprung" in diesem Sinne?) und ist stetig.
Sprung einer Funktion an der Stelle $ x = 2 $:
$ f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] \ f(x) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 2 \end{cases} [/mm] $
Das Ding wird an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] = 2 $ einfach zerrissen.
>
> > Herzliche Grüße
> > reverend
>
> Viele Grüße
> &
> schöne Feiertage!
Danke, gleichfalls!
ChopSuey
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Hi Chop,
> Die Sinusfunktion macht keine Sprünge (nicht solche, von
> der man in Bezug auf Stetigkeit spricht - was verstehst du
> denn unter "Sprung" in diesem Sinne?) und ist stetig.
ich habe mich nochmals mit dem Begriff "Sprung" auseinandergesetzt und anscheinend ist damit nur das Absetzen des Stiftes beim Zeichnen gemeint, was zwar nicht mathematisch, aber für mich sehr verständlich formuliert ist. 
> Sprung einer Funktion an der Stelle [mm]x = 2 [/mm]:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, \ f(x) := \begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 2 \end{cases}[/mm]
>
> Das Ding wird an der Stelle [mm]x_0 = 2[/mm] einfach zerrissen.
Ganz allgemein: woher weiß ich, dass eine Funktion z.B. für x = 1000000 oder für jeden anderen x-beliebigen Wert keinen "Sprung" hat bzw. warum genügt es, so zu argumentieren wie in meiner letzten Frage in diesem Thread?
> Danke, gleichfalls!
>
> ChopSuey
Vielen Dank für Deinen starken Einsatz trotz der Feiertage!
Gruß
grec
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Hallo grec,
> Hi Chop,
Wenn das um sich greift, werden wir hier ein bisschen einsilbig...
> ich habe mich nochmals mit dem Begriff "Sprung"
> auseinandergesetzt und anscheinend ist damit nur das
> Absetzen des Stiftes beim Zeichnen gemeint, was zwar nicht
> mathematisch, aber für mich sehr verständlich formuliert
> ist.
Ja, zum Einstieg ist das ein guter Vergleich. Auf Dauer reicht das nicht, z.B. im Mehrdimensionalen.
> > Sprung einer Funktion an der Stelle [mm]x = 2 [/mm]:
> >
> > [mm]f: \IR \to \IR, \ f(x) := \begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 2 \\
1, & \mbox{für } x \ge 2 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Das Ding wird an der Stelle [mm]x_0 = 2[/mm] einfach zerrissen.
>
> Ganz allgemein: woher weiß ich, dass eine Funktion z.B.
> für x = 1000000 oder für jeden anderen x-beliebigen Wert
> keinen "Sprung" hat bzw. warum genügt es, so zu
> argumentieren wie in meiner letzten Frage in diesem
> Thread?
Oh, es gibt nicht nur Sprünge als Unstetigkeiten. Gerade Pole sind z.B. eigentlich keine Sprünge, und noch netter sind ja Definitionslücken, wie in
[mm] f(x)=\bruch{x^5+3x^4-4x-12}{x^2-2}
[/mm]
So auf Anhieb ist der Zähler unübersichtlich aber unproblematisch, also egal, und der Nenner kann Null werden. Hm. Angucken. Aha: bei [mm] x=\pm\wurzel{2} [/mm] gibt's da ein Problem. Also dort unstetig.
Da könnte man fertig sein. Aber nicht nur in einer Übungsaufgabe würde erwartet, dass man auch noch feststellt, dass die Unstetigkeiten hier von einer bestimmten Sorte sind. Man setzt den Stift zwar kurz ab, macht aber an der gleichen Stelle weiter, sozusagen.
Beide Unstetigkeiten sind hebbar, was man leichter sieht, wenn Zähler und Nenner vollständig faktorisiert sind:
[mm] f(x)=\bruch{x^5+3x^4-4x-12}{x^2-2}=\bruch{(x+\wurzel{2})(x-\wurzel{2})(x+3)}{(x+\wurzel{2})(x-\wurzel{2})}
[/mm]
Es sieht ja ganz so aus, als könnte man da oben und unten zwei Klammern kürzen, aber leider gerade dann nicht, wenn sie Null werden. Fast immer sehen stetig ergänzbare Funktionen so aus (man kann auch andere stricken...). Hier könnte man entweder doch kürzen und hat dann zwei Punkte mehr, für die die Funktion definiert ist, oder man definiert eben diese beiden Punkte: [mm] (-\wurzel{2},-\wurzel{2}+3) [/mm] und [mm] (\wurzel{2},\wurzel{2}+3).
[/mm]
> Vielen Dank für Deinen starken Einsatz trotz der
> Feiertage!
Na, wir können doch nicht einfach das Forum schließen. Wir sind weder eine Bäckerei noch ein Flughafen noch das Parlament. Dieses Forum ist schneesicher und weihnachtstauglich.
Wenn ich selbst das morgen auch noch sein will, muss ich mal die Wanzen zählen gehen...
καληνύχτα,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Sa 25.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Hallo rev,
> Hallo grec,
>
> > Hi Chop,
>
> Wenn das um sich greift, werden wir hier ein bisschen
> einsilbig...
das ist der große Nachteil, wenn man keinen Realnamen als nickname verwendet... Aber solange das Forum nicht in www.rhetorikraum.de umbenannt wird, sollten wir da mit der silbenbehafteten Anrede gut aus dem Schneider sein.
Danke für die Ausführung, allmählich komme ich der Stetigkeit näher. Leider (oder auch zum Glück) erwarten die von uns als Informatiker wahrscheinlich nur, dass man die leichteren Aufgaben lösen kann.
> Na, wir können doch nicht einfach das Forum schließen.
> Wir sind weder eine Bäckerei noch ein Flughafen noch das
> Parlament. Dieses Forum ist schneesicher und
> weihnachtstauglich.
Dann ist meine einzige Sorge nur noch, dass das Forum von einem Generalstreik befallen wird. Aber nachdem die Top-Level-Domain des matheraums .de und nicht .gr lautet, mache ich mir da keine Sorgen!
> Wenn ich selbst das morgen auch noch sein will, muss ich
> mal die Wanzen zählen gehen...
> καληνύχτα,
> rev
>
Χαιρετίσματα
grec
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion gezeigt werden:
$ f : [mm] \IR^{+} \to \IR, f(x):=\bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}} [/mm] $ |
Hallo,
auch wenn ich langsam vielleicht nerve, muss ich doch direkt fragen, ob das so
> "Sind f und g stetig auf einem gemeinsamen
> Definitionsbereich D, so sind auch f + g, f - g, f * g und
> [mm]\bruch{f}{g}[/mm] stetig; allerdings muss der Definitionsbereich
> von [mm]\bruch{f}{g}[/mm] für den Fall, dass g eine oder mehrere
> Nullstellen hat, auf den Bereich [mm]D':=\{x \in D : g(x)\not=0\}[/mm]
> eingeschränkt werden."
>
>
> Ich überlege, wie ich der Anforderung der Übungsaufgabe
> gerecht werden kann und stelle mir das so vor:
>
> Teile zur Untersuchung auf Stetigkeit die gegebene Funktion
> f in zwei Teilfunktionen [mm]a(x):=x^{2}+5[/mm] und
> [mm]b(x):=1+\wurzel{x^{2}+5}[/mm] auf.
>
> (Jetzt folgt im Grunde eine Wiederholung, von dem was Du
> schön erläutert hast:)
>
> [mm]x^{2}[/mm] immer [mm]\ge 0[/mm], daraus folgt [mm]x^{2}+5[/mm] positiv und [mm]\ge 5.[/mm]
> [mm]a(x)[/mm] ist also stetig.
>
> [mm]\wurzel{x^{2}+5}\ge\wurzel{5}[/mm] und stetig, also
> [mm]1+\wurzel{x^{2}+5}[/mm] stetig.
>
> Gemäß dem obigen Satz aus Wikipedia muss ich vorher noch
> überprüfen, ob im Nenner eine Nullstelle existiert. Da
> vor der Wurzel aber ein 1+ steht und außerdem
> [mm]\wurzel{x^{2}+5}\ge\wurzel{5}[/mm], kann es keine Nullstelle
> geben.
> Also lässt sich der Satz anwenden und ich habe gezeigt,
> dass [mm]f(x)[/mm] stetig ist.
ausreichend ist oder ich das nicht nach dem Schema von ChopSuey in einer anderen Aufgabe Link machen muss, um der Anforderung gerecht zu werden?
Vielen Dank für die Geduld und für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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Hi grec,
bei dieser Funktion kommst du mit der Folgendefinition nicht sonderlich weit.
Wende den Satz an, den du bereits gepostet hast. Also Summe, Differenz, Quotient zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
Der Zähler als Polynom ist stetig auf $ [mm] \IR$. [/mm]
Ist der Nenner ebenfalls stetig, so ist die ganze Funktion $ f $ als Quotient zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
Da der Nenner vermutlich Nullstelle(n) besitzt, gilt es, diese aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
Weiter brauchst du den Satz, dass die Komposition zweier stetiger Funktionen ebenfalls Stetig ist. Die Wurzel im Nenner ist z.b. so eine Komposition.
Du brauchst hier also, abgesehen von der Nullstellensuche, garnicht so viel rechnen/tun. Vielmehr kurz argumentieren.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion gezeigt werden:
$f : [mm] \IR^{+} \to \IR, f(x):=\bruch{x^{2}+5}{1+\wurzel{x^{2}+5}}$ [/mm] |
Hi ChopSuey,
> Der Zähler als Polynom ist stetig auf [mm]\IR[/mm].
> Ist der Nenner ebenfalls stetig, so ist die ganze Funktion
> [mm]f[/mm] als Quotient zweier stetiger Funktionen wieder stetig.
> Da der Nenner vermutlich Nullstelle(n) besitzt, gilt es,
> diese aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
Das mit dem Zähler ist inzwischen glasklar.
> Weiter brauchst du den Satz, dass die Komposition zweier
> stetiger Funktionen ebenfalls Stetig ist. Die Wurzel im
> Nenner ist z.b. so eine Komposition.
Die Komposition würde ich dann so handhaben:
[mm] $h:=\wurzel{x^{2}+5}=b \circ [/mm] a$
[mm] $a(x):=x^{2}+5$ [/mm] ist als Polynom (quadratische Funktion) stetig
[mm] $b(x):=\wurzel{x}$ [/mm] ist als Polynom (lineare Funktion) stetig
Also ist $h$ stetig. Der Nenner von $f$ wird nie 0, da:
laut Definitionsbereich dürfen für $x$ nur positive Werte eingesetzt werden, somit [mm] $x^{2}+5 \ge [/mm] 5$ und [mm] $\wurzel{x^{2}+5}\ge \wurzel{5},$ [/mm] also [mm] $1+\wurzel{x^{2}+5}> [/mm] 0.$
> Du brauchst hier also, abgesehen von der Nullstellensuche,
> garnicht so viel rechnen/tun. Vielmehr kurz argumentieren.
Hoffe, dass das so genügt und bedanke mich für Deine Hilfe und Mühe!
> Viele Grüße
> ChopSuey
Gruß
grec
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Hi grec,
alles richtig!
genieß die Feiertage. Nicht zu viel Mathe machen
Grüße
ChopSuey
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