Stetigkeit zwischen 2 Metriken < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Roak |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen f,g,h : [mm] R^2 [/mm] --> R zwischen den beiden Metrischen Räumen,
[mm] (R^2 [/mm] ,d) d(x,y)= [mm] \wurzel{(y_{1}-y_{1})^2+(y_{2}-x_{2})^2}
[/mm]
(R , p) p(u,v)= [mm] \left| u-v \right|
[/mm]
Im Sinne des Epsilon-Delta Kriteriums Stetig sind.
g(x) := [mm] x_{1}+x_{2}^2 [/mm] |
Hallo zusammen,
die Aufgabe sollte ja eigentlich nicht so schwer sein, dennoch habe ich mit dem Epsilon Delta Kriterium immer so meine Schwierigkeiten,
Ich soll ja zeigen, dass die Funktion für jeden Punkt [mm] h=(h_{1},h_{2}) [/mm] das Kriterium erfüllt, ich zeige das doch, indem ich ein Epsilon wähle für das gilt:
p(g(x),g(h)) < [mm] \varepsilon [/mm] um so ein passendes Delta zu finden, ich habe dann folgendes gemacht:
p(g(x),g(h))
<=> p(g(h),g(x)) wegen der Symmetrie der Metrik
= [mm] \left|h_{1}-x_{1} + h_{2}^2-x_{2}^2\right| [/mm]
[mm] \le \left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| h_{2}^2-x_{2}^2 \right|
[/mm]
= [mm] \left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| ( h_{2}-x_{2})* h_{2}-x_{2} ) \right|
[/mm]
[mm] \le \left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right| [/mm] * [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right|
[/mm]
[mm] \le \left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right|* \left| h_{2} \right| [/mm] + [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right| [/mm] * [mm] \left| x_{2} \right|
[/mm]
= [mm] \bruch{ \left| h_{1}-x_{1} \right| + \left| h_{2}-x_{2} \right|* \left| h_{2} \right|} {\left| h_{2}-x_{2} \right| * \left| x_{2} \right|} [/mm] +1
[mm] \le\left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right|* \left| h_{2} \right| [/mm] +1
Jetzt hätte ich weitergemacht indem ich ne Fallunterscheidung für [mm] \left| h_{2} \right| [/mm] gemacht hätte, und dann gefordert hätte, dass mein Epsilon größer als die letzte Zeile ist, das erscheint mir aber so unfassbar falsch,
würde mich freuen, wenn mir jemand meine Fehler erklären könnte, was das Epsilon Delta Kriterium aussagt ist mir bewusst, wenn es dann aber um konkrete Abschätzen machen geht, dann bin ich absolut planlos.
grüße Roak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 15.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
Es ist $ p(g(h),g(x)) [mm] \le \left| h_{1}-x_{1} \right| [/mm] $ + $ [mm] \left| h_{2}-x_{2} \right| *\left| h_{2}+x_{2} \right| [/mm] $.
Jetzt verwende [mm] $|x_i-h_i|\le d(x,h)|<\delta$ [/mm] für i=1,2.
Wie ist also [mm] $\delta$ [/mm] zu wählen?
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:56 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Roak |
Hallo,
mir ist leider nicht klar auf was du hinaus möchtest, soll ich [mm] \left| x_{i}-h_{i} \right| \le \delta [/mm] dann in die obere Gleichung einsetzen?
gruß Roak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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