Stichproben ohne Zurücklegen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Do 09.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Eine Warenlieferung enthalte 5% Ausschuss.
Der Umfang der Warenlieferung sei n. Wie groß ist im Falle n = 20, n = 100, n = 1000 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 10 zufällig ohne Zurücklegen herausgegriffenen Stücken mindestens ein schlechtes befindet?
(Man berechne diese Wahrscheinlichkeiten unter geeigneten Annahmen.) |
Hallo,
bevor ich meine Frage stelle möchte ich eine Lösung vorstellen.
Für den ersten Fall n = 20, würde ich davon ausgehen, dass wir 20 * 0,05 = 1 schlechtes Teil in der Menge hätten.
Ausgehend davon hätten wir also 19 gute, 1 schlechtes, 20 gesamt und die Anzahl der gezogenen sei x = 10.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also für das Ereignis
A = "mindestens ein schlechtes in der Ziehung"
[mm] A_i [/mm] = "genau i gute Elemente in der Ziehung"
P(A) = 1 - [mm] P(A_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{10})
[/mm]
Unter Benutzung der Formel für die hypergeometrische Verteilung:
P(A) = 1 - [mm] \bruch{\vektor{19 \\ 10} * \vektor{1 \\ 0}}{\vektor{20 \\ 10}} [/mm] = 0,5
Analog für n = 100
P(A) = 1 - [mm] \bruch{\vektor{95 \\ 10} * \vektor{5 \\ 0}}{\vektor{100 \\ 10}} [/mm] = 0,416
Analog für n = 1000
P(A) = 1 - [mm] \bruch{\vektor{950 \\ 10} * \vektor{50 \\ 0}}{\vektor{1000 \\ 10}} [/mm] = 0,402
Frageteil
Was mich verunsichert ist, dass man obwohl man nur die Gesamtanzahl der Elemente kennt (20, 100, 1000), durch Multiplikation mit der gegebene Wahrscheinlichkeit (z.B. 0,05) die Anzahl der schlechten Elemente ermittelt, die hypothetisch in der Menge enthalten sind. Tatsächlich können es ja aber auch 0 schlechte Elemente sein.
Ist diese Vorgehensweise legitim?
Wenn ja... wie soll man dann einen folgenden Fall Berechnen:
Ausgangslage sind wieder n = 20 Elemente mit einem Ausschuss von 5%, gezogen werden 10 Elemente.
Ereignis A = "8 schlechte Elemente"
Die hypergeometrische Verteilung würde in diesem Fall so aussehen:
P(A) = 1 - [mm] \bruch{\vektor{19\\ 2} * \vektor{1 \\ 8}}{\vektor{20\\ 10}} [/mm] = ?
...was ja wegen [mm] \vektor{1 \\ 8} [/mm] nicht funktionieren kann. Wie rechnet man diesen Fall?
lg
magics
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Fr 10.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aussage die Lieferung enthaelt 5% Ausschuss ist eine andere als die Aussage ueber die Wahrscheinlichket des Ausschusses. sie sagt es sind wirklich 5% der Teile defekt.. mit der annahme 1 von 20 hast du also recht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:17 Fr 10.07.2015 | | Autor: | magics |
Hallo,
und danke für deine Antwort.
Vom Bauchgefühl her stimme ich dir nicht zu. Meiner Meinung nach ist das höchstens eine Auslegungssache... wir sprechen hier ja schließlich von einer Stichprobe von irgendwelchen Produkten, dass da exakt 5% Ausschuss ist, das kann man gar nicht wissen... man kann höchstens sagen "Die Erfahrung hat gezeigt, dass im Mittel 5% Ausschuss sind", und da das Mittel ein erwartungstreuer Schätzer ist, "darf" man eben n * 0,05 rechnen... was jetzt meine Begründung gewesen wäre.
Nichts desto trotz bleibt die Frage, wie man im Fall, dass man unwahrscheinlich viele Ausschussgüter ziehen will die Formel für die hypergeometrische Verteilung noch gebacken bekommt...
Aber vermutlich denk ich zu kompliziert.
lg
magics
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Fr 10.07.2015 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> und danke für deine Antwort.
>
> Vom Bauchgefühl her stimme ich dir nicht zu. Meiner
> Meinung nach ist das höchstens eine Auslegungssache... wir
> sprechen hier ja schließlich von einer Stichprobe von
> irgendwelchen Produkten, dass da exakt 5% Ausschuss ist,
> das kann man gar nicht wissen...
Moin, das ist keine Auslegungssache. Die Aufgabenvoraussetzung lautet: Eine Warenlieferung enthalte 5% Ausschuss -- Punkt. Damit kannst du arbeiten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 10.07.2015 | | Autor: | luis52 |
>
> ...was ja wegen [mm]\vektor{1 \\ 8}[/mm] nicht funktionieren kann.
> Wie rechnet man diesen Fall?
Moin, per defitionem ist [mm] $\binom{m}{n}=0$ [/mm] fuer $m<n$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Fr 10.07.2015 | | Autor: | magics |
Danke!
|
|
|
|
