Stichprobenumfang ermitteln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 11.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Im Rahmen einer Betriebsbesichtigung soll die Präzision einer Dosierungsmaschine für pharmazeutische Produkte demonstriert werden. Es ist durch regelmäßige Nachprüfungen bekannt, dass diese Maschine ein normalverteiltes Füllgewcht mit [mm] \mu [/mm] = 2,75mg und [mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] 0,16mg^2 [/mm] liefert. Der Betriebsingenieur entnimmt eine Stichprobe.
Von welchem Mindestumfang sollte diese Stichprobe sein, damit das durchschnittliche Füllgewicht mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 zwischen 2,749mg und 2,751mg liegt? |
Moin,
auch hier fehlt mir ein Ansatzgedanke.
Ich weiss, dass [mm] \phi(\bruch{b - \mu}{\sigma}) [/mm] - [mm] \phi(\bruch{a - \mu}{\sigma}) \ge [/mm] 0,95 sein soll.
Nur hilft das hier weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Do 11.10.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Ich weiss, dass [mm]\phi(\bruch{b - \mu}{\sigma}[/mm] -
> [mm]\phi(\bruch{a - \mu}{\sigma} \ge[/mm] 0,95 sein soll.
>
Fast. Es geht um das durchschnittliche Füllgewicht. Demnach ist $n$ so zu bestimmen, dass gilt [mm]\Phi\left(\bruch{b - \mu}{\sigma}\sqrt{n}\right) -\Phi\left(\bruch{a - \mu}{\sigma}\sqrt{n}\right) \ge0,95[/mm].
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 11.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin Luis,
vielen Dank für Deine Antwort!
Warum eigentlich [mm] \wurzel{n} [/mm] ??
Ich habe mal gerechnet...
[mm] \phi(\bruch{b - \mu}{\sigma}*\wurzel{n}) [/mm] - [mm] \phi(\bruch{a - \mu}{\sigma}*\wurzel{n}) \ge [/mm] 0,95
[mm] \phi(\bruch{2,751 - 2,75}{0,4}*\wurzel{n}) [/mm] - [mm] \phi(\bruch{2,749 - 2,75}{0,4}*\wurzel{n}) \ge [/mm] 0,95
[mm] \phi(0,0025*\wurzel{n}) [/mm] - [mm] \phi(- 0,0025*\wurzel{n}) \ge [/mm] 0,95
[mm] \phi(0,0025*\wurzel{n}) [/mm] - ( 1 - [mm] \phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge [/mm] 0,95
[mm] 2*\phi(0,0025*\wurzel{n}) [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 0,95
[mm] 2*\phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge [/mm] 1,95
[mm] \phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge [/mm] 0,975
1,96 = [mm] 0,0025*\wurzel{n} [/mm]
[mm] \wurzel{n} [/mm] = 784
n = 614.656
Ist das nicht eine ziemlich hohe Zahl?
Schlussfolgerung: man müsste also über 600 Tausend Teile prüfen, damit mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit die Teile ein Gewicht zwischen 2,749 und 2,751 mg haben! ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 11.10.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Warum eigentlich [mm]\wurzel{n}[/mm] ??
>
Das arithmetische Mittel ist normalverteilt mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2/n$.
[/mm]
> Ich habe mal gerechnet...
>
> [mm]\phi(\bruch{b - \mu}{\sigma}*\wurzel{n})[/mm] - [mm]\phi(\bruch{a - \mu}{\sigma}*\wurzel{n}) \ge[/mm]
> 0,95
>
> [mm]\phi(\bruch{2,751 - 2,75}{0,4}*\wurzel{n})[/mm] -
> [mm]\phi(\bruch{2,749 - 2,75}{0,4}*\wurzel{n}) \ge[/mm] 0,95
>
> [mm]\phi(0,0025*\wurzel{n})[/mm] - [mm]\phi(- 0,0025*\wurzel{n}) \ge[/mm]
> 0,95
>
> [mm]\phi(0,0025*\wurzel{n})[/mm] - ( 1 - [mm]\phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge[/mm]
> 0,95
>
>
> [mm]2*\phi(0,0025*\wurzel{n})[/mm] - 1 [mm]\ge[/mm] 0,95
>
> [mm]2*\phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge[/mm] 1,95
>
> [mm]\phi(0,0025*\wurzel{n}) \ge[/mm] 0,975
>
>
> 1,96 = [mm]0,0025*\wurzel{n}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] = 784
>
> n = 614.656
Errechne ich auch.
>
> Ist das nicht eine ziemlich hohe Zahl?
Eigentlich nicht, denn das arithmetische Mittel soll nur um maximal 0.001 von [mm] \mu [/mm] abweichen, eine ziemlich hohe Genauigkeit.
vg Luis
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