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| Aufgabe | | In einem Stickeralbum sind 150 verschiedene Sticker einzukleben. Angenommen die zu sammelnden Sticker treten gleichverteilt auf, wie viele Sticker muss man mindestens sammeln, damit das Album mit 90%iger Wahrscheinlichkeit komplett gefüllt ist? |
Liebe Forumsmitglieder,
es ist mir wieder einmal gelungen ein Problem zu finden, bei dem ich eure Hilfe brauche. In der Vergangenheit hat das ja prima geklappt, was mich recht zuversichtlich stimmt.
Die Aufgabenstellung klingt ja so ähnlich wie: "Wie oft muss man eine Münze werfen, damit zu 90% mindestens einmal Wappen fällt?" Diese Aufgabe kann ich problemlos lösen.
Der nächste Schritt, wäre die kleine Veränderung zu: "Wie oft muss eine Münze geworfen werden, damit mindestens eimal Wappen und einmal Zahl vorkommt (wieder mit 90%iger Wahrscheinlichkeit)?" Hier hilft ein Baum, der es mir veranschaulichte, dass man mit dem Gegenereignis arbeiten kann: "Nicht nur Wappen oder nur Zahl."
Auch das ist kein Problem.
Nun wollte ich die eigene Problemstellung so erweitern, dass nicht zwei Elementarereignisse vorkommen (Wappen und Zahl), sondern drei (die gleichwahrscheinlich sind).
Konkret:
Für jede Anzahl von Stickern (<2) muss man die Wahrscheinlichkeit explizit ausrechnen (zumindest sehe ich keinen anderen Weg). Bei n=3 kommt man auf: [mm] P(n=3)=3!*\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{2}{9}
[/mm]
Für n=4 bin ich schon am verzweifeln, da mir das Finden einer geeigneten Formel schwer fällt.
Damit bin ich auch schon bei meiner Frage: Wie geht es sinnvoll weiter? Wie viele mögliche Anordnungen gibt es denn? Bei n=3 waren es 3! aber jetzt? Wie baue ich den doppelten Sticker mit ein?
Und nun noch weiter: Hilft mir der Weg überhaupt - also lässt sich das soweit verallgemeinern, dass etwas für das gesammte Stickeralbum heraus kommt?
Bin für jede Hilfe dankbar,
Pi-rol
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Hallo,
das ist eine Variation des sog. ![[]](/images/popup.gif) Sammlerproblems. Sagt dir das etwas? Auf jeden Fall kann man von vornherein sagen, dass man mit elementaren Mitteln (mehrstufiges Experiment, elementare Verteilungen, etc.) nicht weiterkommt.
Man kann mit Hilfe des Prinzips von Inklusion und Exklusion die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=k) dafür aufstellen, dass man genau k Sammelbilder kaufen muss, um das Album vollständig zu haben. Das läuft im Falle solcher Zählprobleme auf eine Summe endlicher geometrischer Reihen hinaus, ist also nicht wirklich schwierig auszurechnen, sondern die Darstellung ist etas tricky. Vor allem muss im Fall dieser Aufgabe diese Funktion dann noch mit 0.9 gleichgesetzt werden, was auf jeden Fall auf eine Gleichung herausläuft, die man nicht analytisch lösen kann.
Hilöft dir denn meine Idee weiter bzw. sagt sie dir etwas? Falls ja, vielleicht kannst du uns noch sagen, in welchem Zusammenhang sich das Problem stellt, dann kann man manchmal die Mittel besser einschätzen, die verwendet werden dürfen/sollen/müssen. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 24.11.2012 | | Autor: | pi-roland |
Hallo Diophant (der Name ist sehr passend, da ich auch eine ganzzahlige Lösung haben möchte),
eigentlich wollte ich das Thema noch in den Uni-Bereich schieben, aber da fehlen mir die Fähigkeiten (hab zu spät gemerkt in welchem Unterforum ich bin und hab keine Ahnung wie die Aufgabe in den Uni-Bereich geschrieben werden könnte). Beim ersten Nachdenken über das Problem kam es mir auch nicht so schwer vor, so dass ich es bei der Abiturstufe recht gut aufgehoben fand.
Zur Aufgabe komme ich, weil ein derartiges Sammelalbum sich bei uns im Haushalt angefunden hat, die Sticker gibt es aber als Art Werbeaktion immer beim Einkauf dazu. Es stellte sich die Frage, wie oft und wie viel ich dazu einkaufen müsste, damit ich das Album voll bekomme.
Irgendwo im Hinterkopf war mir so, als ob man die Aufgaben auch für Interessierte markieren kann (oder funktioniert das erst nach Ablauf der gesetzten Frist?)... Es handelt sich in so fern um ein rein privates Problem - aber nicht weniger spannend, fand ich.
Im Studium hatte ich nur die grundlegenden mathematischen Probleme behandelt. In der Physik haben wir derartiges mit Hilfe des Computers simmuliert (was ich noch vor habe - vor allem um mein Ergebnis zu überprüfen).
Leider sagt mir das Sammlerproblem vorerst gar nichts. Doch wenn man eine Richtung hat, kann man sich ja bilden... 
Dass man nicht umhin kommt mit den Wahrscheinlichkeitsfunktionen anzufangen, ist klar. In der Art ist mein Ansatz schließlich auch gedacht. Die Herausforderung würde darin bestehen, herauszufinden, wie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen für immer größer werdende Stickerzahlen darzustellen sind. Bei der Binomialverteilung macht man ja auch nichts anderes (Gemeinsamkeiten finden und sinnvoll zusammenfassen).
Vorerst bedanke ich mich für deine Tipps - die werde ich mir zu Gemüte führen.
Bis dahin noch ein angenehmes Wochenende,
pi-rol
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Hallo Diophant,
ja es handelt sich tatsächlich um eine Form des Sammelbildproblems. Dort geht es leider nur um den Erwartungswert. Angenommen die Verteilung der Anzahl der zu sammelnden Bildchen um das Album komplett zu füllen sei normalverteilt, dann braucht man ja nur noch die Varianz dieser Verteilung, oder?
Nun natürlich die Frage: Wie kommt man an die Varianz einer solchen Verteilung heran?
Meine Simulation ergab übrigens eine Anzahl von ca. 1090 Stickern, die gesammelt werden müssen, um das Album mit 90%iger Wahrscheinlichkeit komplett gefüllt zu haben.
Grüße,
[mm] \pi\mathrm{-rol}
[/mm]
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Hallo,
> ja es handelt sich tatsächlich um eine Form des
> Sammelbildproblems. Dort geht es leider nur um den
> Erwartungswert.
Ja, die meisten Quellen beschränken sich auf diese geniale Idee, den Erwartungswert ganz ohne Wahrscheinlichkeitsfunktion über die Harmonische Reihe zu berechnen. Ich habe im Moment leider keine Zeit für eine Erläuterung. In einem anderen Mathe-Forum habe ich vor einigen Jahren einen möglichen Weg zur Darstellung von P(X=k) beim Sammlerproblem vorgestellt und gebe dir hier mal der Einfachheit halber einen Link.
> Angenommen die Verteilung der Anzahl der zu
> sammelnden Bildchen um das Album komplett zu füllen sei
> normalverteilt, dann braucht man ja nur noch die Varianz
> dieser Verteilung, oder?
> Nun natürlich die Frage: Wie kommt man an die Varianz
> einer solchen Verteilung heran?
Das mit der Varianz verstehe ich nicht. So wie die Aufgabe gestellt ist, muss die Gleichung
P(X=k)=0.9
nach k aufgelöst werden. Ich kann mir nicht vorstellen, dass man dies analytisch hinbekommt, sondern man wird ein CAS darauf loslassen müssen, um eine Näherung zu erhalten.
> Meine Simulation ergab übrigens eine Anzahl von ca. 1090
> Stickern, die gesammelt werden müssen, um das Album mit
> 90%iger Wahrscheinlichkeit komplett gefüllt zu haben.
Ich muss mal schauen, wie es bei mir zeitlich heute ausschaut (eher eng). Wenn ich es irgendwie unterkriege, würde ich auch mal einen Versuch starten, es durchzurechnen.
Gruß, Diophant
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