Stoch. Vektoren < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Wahrscheinlichkeiten eines 2dimensionalen stochastischen Vektors seien gegeben durch:
p(x1, x2) = W{X1 = x1,X2 = x2} = [mm] \bruch{1}{2^{x_{1}+x_{2}}} [/mm] x1, x2 N
(a) Zeigen Sie, daß es sich um eine WVerteilung handelt.
(b) Ermitteln Sie die Randverteilungen von X1 und X2.
(c) Bestimmen Sie: W{X1 = X2}, W{X1 > X2}, W{X1 <= 2}. |
Irgendwie versteh ich die stoch. Vektoren nicht und hab auch im INternet nicht wirklich was gefunden was mir weiterhelfen könnte.
Ich hoff mir kann da wer weiterhelfen?
mfg devil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
koenntest du die beiden Fragen bitte in getrennten Threads stellen.
Danke.
lg Luis
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anscheinend hast du es jetzt eh shcon gemacht. ;)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
eine alte Bauernregel besagt, dass zwei Zufallvariablen genau dann
unabhaengig sind, wenn sich ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
(oder Dichte) in der Form [mm] $f(x_1,x_2)=g(x_1)h(x_2)$ [/mm] darstellen, wobei $g$
nur von [mm] $x_1$ [/mm] abhaengt und $h$ nur von [mm] $x_2$. [/mm] Das ist hier der Fall:
[mm] $f(x_1,x_2)=\frac{1}{2^{x_1+x_2}}=g(x_1)h(x_2)$
[/mm]
mit [mm] $g(x_1)=\frac{1}{2^{x_1}}$ [/mm] fuer [mm] $x_1\in\IN$ [/mm] und [mm] $h(x_2)=\frac{1}{2^{x_2}}$ [/mm] fuer [mm] $x_2\in\IN$.
[/mm]
Damit haben wir auch die Randverteilungen von [mm] $X_1$ [/mm] bzw. [mm] $X_2$ [/mm] gefunden,
denn $g$ bzw. $h$ sind die zugehoerigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
[mm] $P(X_1=X_2)=\sum_{y=1}^\infty\frac{1}{2^{2y}}= \sum_{y=1}^\infty\frac{1}{4^y}=\frac{1}{3}$.
[/mm]
[mm] $P(X_1\le X_2)=P(X_1=X_2)+P(X_1< X_2)=\frac{1}{3}+P(X_1< X_2)=\frac{2}{3}$,
[/mm]
da [mm] $P(X_1< X_2)=P(X_1> X_2)$.
[/mm]
lg Luis
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>
> mit [mm]g(x_1)=\frac{1}{2^{x_1}}[/mm] fuer [mm]x_1\in\IN[/mm] und
> [mm]h(x_2)=\frac{1}{2^{x_2}}[/mm] fuer [mm]x_2\in\IN[/mm].
>
> Damit haben wir auch die Randverteilungen von [mm]X_1[/mm] bzw. [mm]X_2[/mm]
> gefunden,
> denn [mm]g[/mm] bzw. [mm]h[/mm] sind die zugehoerigen
> Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
>
> lg Luis
>
Hallo luis!
Bin das jetzt mal durchgegangen, aber das mit den Randverteilungen versteh ich noch nicht so ganz. Was sagt die Randverteilung eigentlich aus?
Kennst du eine internetseite wo stoch. Vektoren ordentlich beschrieben sind?
lg
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Hallo Luis!
ich versuch mal das ganze auf dieses Bsp umzulegen.
Randichte von x1 :
heisst das nun eigentlich, dass ich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
nehmen muss?
und für x2 :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
uns somit die Randverteilung x1=x2 ist? Sollte da nicht jeweils x1=1 und x2=1 rauskommen?
Ich kann ja keine unendliche Wahrscheinlichkeit bekommen.
lg devil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 02.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis!
>
> ich versuch mal das ganze auf dieses Bsp umzulegen.
>
> Randichte von x1 :
>
> heisst das nun eigentlich, dass ich
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{i}}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> nehmen muss?
Wie kommst du darauf, dass die Reihensumme [mm] $\infty$ [/mm] ist? Sie ist 1! Also:
Nein,
[mm] $P(X_1=x_1)=\sum_{x_2=1}^\infty f(x_1,x_2)=\frac{1}{2^{x_1}}\sum_{x_2=1}^\infty \frac{1}{2^{x_2}} =\frac{1}{2^{x_1}}$.
[/mm]
lg Luis
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> Wie kommst du darauf, dass die Reihensumme [mm]\infty[/mm] ist? Sie
> ist 1! Also:
ja war ein dummer dnekfehler!
Danke!
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http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/inf_bak/node41.html