Stochastik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mi 27.05.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Ein Computer gibt zufällig und unabhängig voneinander jeden Tag [mm] n\in\IN [/mm] einen Buchstaben aus dem (lateinischen) Alphabet [mm] \mathcal{A} [/mm] aus. Sei [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] das entstandene (unendl. lange) Wort, aus eine von i.i.d. Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \mathcal{A}, [/mm] wobei [mm] P(X_1=\eta)=1/26 [/mm] für alle [mm] \eta \in \mathcal{A}. [/mm]
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt der eigener Vorname [mm] \infty-oft [/mm] in diesem Wort vor? |
Hallo,
ich habe erstmal folgende menge definiert:
sei [mm] \Omega=\{a,b,c,....,x,y,z\}^{\infty}=\{(\omega_1,\omega_2,...)|\omega_n\in\{a,b,...\}\} [/mm] (aber weiß nicht so richtig ob sie mich weiterbringt)
ich weiß nicht so recht wie ich an die aufgabe herangehen soll und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich bin für jeden Tipp dankbar.
|
|
| |
|
Hiho,
sei k die Länge des Vornamens, definiere dann:
[mm] $A^k_{n} [/mm] = [mm] \{X_n = x_n, X_{n+1} = x_{n+1}, \ldots, X_{n+k} = x_{n+k}\}$
[/mm]
Was weißt du nun über
[mm] A_n^k [/mm] und [mm] A_m^k [/mm] für $|m-n| > k$?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Fr 29.05.2015 | | Autor: | mimo1 |
danke für deine Hilfe, aber leider komme ich nicht weiter.
warum def noch ein [mm] A_m^k? [/mm]
ist mit [mm] A_n^k [/mm] einfach die Menge gemeint, an die die Buchstaben, die in den Vornamen vorkommen, an einem bestimmten Tag n auftreten? analog auch zu [mm] A_m^k [/mm] aber für [mm] m\not=n [/mm] ?
und [mm] P(A_n^k)=\produkt_{l=1}^{k}P(X_{n+l})=(\bruch{1}{26})^k
[/mm]
irgendwie komme ich nicht weiter und hoffe dass du mir weiterhelfen könntest? Wenigsten ein kleiner tipp noch? dankeschön im voraus.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> warum def noch ein [mm]A_m^k?[/mm]
Dazu solltest du dir erstmal folgende Fragen beantworten:
1.) Wie kannst du mengentheoretisch die Fragestellung "Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt der eigener Vorname $ [mm] \infty-oft [/mm] $ in diesem Wort vor?" modellieren?
2.) Welche Möglichkeiten kennst du Aussagen über Mengen aus 1.) zu machen?
3.) Welche Voraussetzungen brauchst du dafür?
Dann wird dir hoffentlich klar, warum man die [mm] $A_n^k$ [/mm] so wählen muss.
> ist mit [mm]A_n^k[/mm] einfach die Menge gemeint, an die die
> Buchstaben, die in den Vornamen vorkommen, an einem
> bestimmten Tag n auftreten?
Jein.
Die Buchstaben treten an k hintereinander folgenden Tagen auf beginnend mit dem Tag n+1 auf.
> analog auch zu [m][mm] A_m^k[/mm] [/mm] aber für [mm]m\not=n[/mm] ?
korrekt.
> [mm]P(A_n^k)=\produkt_{l=1}^{k}P(X_{n+l})=(\bruch{1}{26})^k[/mm]
Das wäre eigentlich falsch, aber nur weil ich meine Menge falsch definiert hab.
Deine Berechnung wäre korrekt für
$ [mm] A^k_{n} [/mm] = [mm] \{X_{n+1} = x_{n+1}, \ldots, X_{n+k} = x_{n+k}\} [/mm] $
und das macht auch mehr Sinn 
Allerdings musst du dringend an deiner Notation arbeiten.
Was soll denn [mm] $P(X_{n+l})$ [/mm] für ein mathematischer Ausdruck sein?
Das macht gar keinen Sinn!
Was du meinst, ist: [mm] $P(X_{n+l} [/mm] = [mm] x_{n+l})$ [/mm] für [mm] $x_{n+l}$ [/mm] ein Buchstabe des Alphabets.
> irgendwie komme ich nicht weiter und hoffe dass du mir
> weiterhelfen könntest? Wenigsten ein kleiner tipp noch?
> dankeschön im voraus.
Beantworte Fragen 1.) - 3.) dann sehen wir weiter.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Fr 29.05.2015 | | Autor: | mimo1 |
ich habe folgendes gemacht:
Sei k die länge des vorname, dann erhalte die Menge [mm] A_n:=\{X_{kn+1}=x_{kn+1},X_{kn+2}=x_{kn+2},...,X_{kn+k}=x_{kn+k}\}
[/mm]
dann ist [mm] A_1 [/mm] das Ereignis sd der Vorname an der Stelle 1 bis k auftritt
[mm] A_2 [/mm] ist das Ereignis s.d der Vorname an der Stelle k+1 bis 2k auftritt
usw.
Damit ist die Folge [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] stochastisch unabhängig und dann ist [mm] P(A_n)=(\bruch{1}{26})^k [/mm] für jedes k
Also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty [/mm] dann folgt mit Borel-Cantelli Lemma
[mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty}sup A_n) [/mm] =1
ist es damit richtig? dankeschön im voraus
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Damit ist die Folge [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] stochastisch unabhängig
warum?
> ist es damit richtig? dankeschön im voraus
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Gono
|
|
|
|
