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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Italo |
Hallo,
ich habe zwei Sachen über die ich mir nicht so ganz klar bin, welche ich aus Prüfungsmitschriften habe:
Wie ist folgendes zu berechnen:
P(a<X<=b), P({x1}), P(x>x1) ,P(a<X<b)
->Wie wird das Gebiet genannt & wie sind die Lösungen davon?
Und die Frage:
Wo besteht der Zusammenhang zwischen Zufallsvariable und Verteilungsfunktion?
Ich hoffe jemand kann mir helfen... Danke im Vorraus!
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> Hallo,
> ich habe zwei Sachen über die ich mir nicht so ganz klar
> bin, welche ich aus Prüfungsmitschriften habe:
> Wie ist folgendes zu berechnen:
> P(a<X<=b), P({x1}), P(x>x1) ,P(a<X<b)
> ->Wie wird das Gebiet genannt & wie sind die Lösungen
> davon?
>
> Und die Frage:
> Wo besteht der Zusammenhang zwischen Zufallsvariable und
> Verteilungsfunktion?
Ich nehme an, dass in Deiner Vorlesung die Verteilungsfunktion $F$ der Zufallsvariablen $X$ über die folgende Beziehung eingeführt wurde:
[mm]F(x) := \mathrm{P}(X\leq x)[/mm]
Aufgrund dieser Definition kannst Du etwa sagen, dass [mm] $\mathrm{P}(a
[mm]\mathrm{P}(a < X \leq b)=\mathrm{P}(\{X\leq b\}\backslash\{X\leq a\})=\mathrm{P}(X\leq b)-\mathrm{P}(X\leq a)=F(b)-F(a)[/mm]
Dabei haben wir einfach benutzt, dass allgemein aus [mm] $A\subseteq [/mm] B$ folgt, dass [mm] $\mathrm{P}(B\backslash A)=\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A)$.
[/mm]
Bei [mm] $\mathrm{P}(X=x_1)$ [/mm] (bzw. was wohl das selbe bedeuten soll: [mm] $\mathrm{P}(\{x_1\}$) [/mm] kann man zeigen, dass [mm] $\mathrm{P}(X=x_1)=F(x_1)-\lim_{x\rightarrow x_1-}F(x)$ [/mm] gilt. - Und zwar etwa so:
[mm]\mathrm{P}(X=x_1)=\mathrm{P}\Big(\bigcap_{n=1}^\infty\big(\{X\leq x_1\}\backslash \{X\leq x_1-\tfrac{1}{n}\}\big)\Big)=\lim_{n\rightarrow \infty}\mathrm{P}(\{X\leq x_1\}\backslash \{X\leq x_1-\tfrac{1}{n}\})=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(F(x_1)-F(x_1-\tfrac{1}{n}\right)=F(x_1)-\lim_{x\rightarrow x_1-}F(x)[/mm]
Versuch doch mal, die restlichen beiden Fälle im ähnlichen Stil auf die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $X$ zurückzuführen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Italo |
Ok, danke erstmal.
Muss dann [mm] P(X>X_{1}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{1}^{+}}F(x) [/mm] - F(a) sein???
Bei P(a<X<b) = F(b-0) - F(a)?!
Könntest Du mir viell noch die Frage beantworten:
> Wo besteht der Zusammenhang zwischen Zufallsvariable und Verteilungsfunktion?
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Hi, Italo,
> Ok, danke erstmal.
> Muss dann [mm]P(X>X_{1})[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{1}^{+}}F(x)[/mm] - F(a) sein???
Das ist für mich ein bisschen unverständlich!
links hast Du [mm] x_{1}, [/mm] rechts kommt ein a vor! Wie geht das zusammen?
Zudem: Wozu dieser Grenzwert? Es ist doch klar, dass [mm] P(\Omega) [/mm] = 1 sein muss!
Demnach: P(X > [mm] x_{1}) [/mm] = 1 - P(X [mm] \ge x_{1})
[/mm]
> Bei P(a<X<b) = F(b-0) - F(a)?!
Ich nehme an, das alles ist für diskrete Verteilungen gefragt, stimmt's?
Dann ist P (a < X < b) gleichbedeutend mit P(a < X [mm] \le [/mm] b-1) und somit gleich
F(b-1) - F(a). (Oder hast Du Dich nur vertippt?!)
> Könntest Du mir viell noch die Frage beantworten:
> Wo besteht der Zusammenhang zwischen Zufallsvariable
> und Verteilungsfunktion?
Entschuldige bitte: Blöde Frage!
Ohne Zufallsvariable (X) weder Wahrscheinlichkeitsverteilung, noch Verteilungsfunktion!
Das einzige, was mir hierzu einfällt, ist: Die Verteilungsfunktion bezieht sich auf Intervalle der Zufallsvariable!
mfG!
Zwerglein
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> Ok, danke erstmal.
> Muss dann [mm]P(X>X_{1})[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{1}^{+}}F(x)[/mm]
> - F(a) sein???
Nein, wie Zwerglein schon bemerkt hat, sollte dies [mm] $\mathrm{P}(X>x_1)=\mathrm{P}(\overline{X\leq x_1})=1-\mathrm{P}(X\leq x_1)=\underline{\underline{1-F(x_1)}}$ [/mm] sein.
> Bei P(a<X<b) = F(b-0) - F(a)?!
Ich bin nicht sicher, was Du mit $F(b-0)$ meinst. Falls Du damit [mm] $\lim_{x\rightarrow b-}F(x)$ [/mm] meinst, dann ist dies meiner Meinung nach richtig.
Genauer: Wenn man nicht annehmen will, wie dies Zwerglein vorschlägt, dass eine diskrete Verteilung vorliegt (dies hatten wir bei der Überlegung, die zeigte, dass [mm] $\mathrm{P}(X=x_1)=F(x_1)-\lim_{x\rightarrow x_1-}F(x)$ [/mm] gilt, auch nicht gemacht), dann würde man wohl (unter der Voraussetzung, dass $a < b$) wie folgt überlegen:
[mm]\mathrm{P}(a < X < b) = \mathrm{P}(\{X
Hier haben wir wieder eine Eigenschaft der monotonen Konvergenz eines Wahrscheinlichkeitsmasses verwendet: ist [mm] $(B_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine inklusionsmonoton wachsende Folge messbarer Mengen, so ist [mm] $\mathrm{P}(B_n)$ [/mm] eine monoton wachsende Folge mit Limes [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\mathrm{P}(B_n)=\mathrm{P}\Big(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\Big)$.
[/mm]
> Könntest Du mir viell noch die Frage beantworten:
> > Wo besteht der Zusammenhang zwischen Zufallsvariable
> und Verteilungsfunktion?
Der wird einfach über die Definition $F(x) := [mm] \mathrm{P}(X\leq [/mm] x)$ geschaffen. Darauf beruhen ja alle obigen Überlegungen, die uns erlauben, [mm] $\mathrm{P}(\ldots [/mm] X [mm] \ldots)$ [/mm] mit Hilfe von $F(x)$ auszudrücken.
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