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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 02.07.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Seien X; Y unabhaengige, identisch verteilte, reellwertige Zufallsvariablen mit
Mittelwert 0, Varianz [mm] \sigma^2, [/mm] und mit der Eigenschaft, dass auch X+Y und X-Y
unabhaengig sind. Zeigen Sie, dass X und Y normalverteilt sind.
Hinweis: Sei [mm] \varphi [/mm] die charakteristische Funktion von X. Zeigen Sie, dass
aus 2X = (X -Y ) + (X + Y ) die Funktionalgleichung [mm] \varphi(2t) =\varphi(t)^3\varphi(-t) [/mm] folgt.
Zeigen Sie, dass [mm] \varphi(t) \neq [/mm] 0. Setzen Sie [mm] \psi(t) [/mm] = [mm] \varphi(t)\varphi(-t)^{-1} [/mm] und zeigen Sie, dass
[mm] \psi(t) [/mm] = 1 |
Ok, da hab ich mal angefangen, (vielleicht hab ich es auch falsch verstanden und direkt am anfang einen fehler gemacht)
Es gilt ja [mm] \varphi_{2X}(t)=\varphi_{X+Y}(t)\cdot\varphi_{X-Y}(t) [/mm] und
hieraus folgt:
[mm] \varphi_{2X}(t)=E(e^{it2X})=E(e^{i3tX-itX})=E(e^{i3tX}\cdot e^{-itX})=E((e^{itX})^{3} \cdot e^{-itX})=E((e^{itX})^{3}) \cdot E(e^{-itX})
[/mm]
Wenn das letzte Gleichheitszeichen gilt , dann sollt ich ja die Loesung vor mir stehen haben...aber ich glaube das gilt nicht, da keine Unabhaengigkeit vorliegt.
Naja ...hab dann erstmal weiter gemacht.
[mm] \varphi(t)\neq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow E(e^{itX})\neq [/mm] 0 also [mm] e^{itX} \neq [/mm] 0 fuer alle t aus R. Sollte doch schon fast reichen, oder ?!..
Dann [mm] \psi(t)=\varphi(t)\varphi(-t)^{-1}\Leftrightarrow \varphi(-t)\cdot \psi(t)=\varphi(t)\Leftrightarrow \overline{\varphi(t)}\cdot \psi(t)=\varphi(t). [/mm] Somit muesste nun [mm] \overline {\varphi(-t)}=\varphi(t) [/mm] sein ...damit sollte [mm] \varphi [/mm] nur einen Realteil besitzen.
Soweit bin ich nun erstmal... verbesserungsvorschlaege hoere ich gerne :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 02.07.2007 | | Autor: | DirkG |
Da ich hier aus unverständlichen Gründen keine Antwort, sondern nur eine Mitteilung schreiben kann....
Aus $(X+Y),(X-Y)$ unabhängig folgt
[mm] $$E\left( e^{it2X} \right) [/mm] = [mm] E\left( e^{it(X+Y)} \right) \cdot E\left( e^{it(X-Y)} \right)$$
[/mm]
Aus $X,Y$ unabhängig folgt einerseits
[mm] $$E\left( e^{it(X+Y)} \right) [/mm] = [mm] E\left( e^{itX} \right) \cdot E\left( e^{itY} \right)$$
[/mm]
und andererseits sind dann auch $X,-Y$ unabhängig:
[mm] $$E\left( e^{it(X+(-Y))} \right) [/mm] = [mm] E\left( e^{itX} \right) \cdot E\left( e^{-itY} \right)\quad [/mm] .$$
Jetzt alles klar?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:11 Mo 02.07.2007 | | Autor: | cutter |
Die Zerlegungen sind mir schon klar ..ist ja die Faltung, die man aufgrund der unabhaengigkeit durchfuehren kann.
Aber wie mir das jetzt bei meinem Problem hilft seh ich nicht ganz.
Bezieht sich das nun auf meine Loesung oder ist das ein ganz neuer Weg, den ich gehen soll ?...
Also ich dachte mein Ansatz waer schon recht gut ...nur fehlte mir der letzte schritt fuer den ersten hinweis..
grüße :)
arthuer ?!;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mo 02.07.2007 | | Autor: | DirkG |
Also ich sehe da schon einen Unterschied zwischen meiner Argumentation und deiner oben: Du hantierst oben nur mit den $X$ rum und benutzt dann falscherweise (wie du selbst richtig erkannt hast) die Faltungsformel für die charakteristischen Funktionen nicht unabhängiger Zufallsgrößen. Diesen Fehler vermeide ich in meiner Darstellung, komme so ohne "Wackler" zum gewünschten Ergebnis [mm] $(\varphi(t))^3\varphi(-t)$ [/mm] .
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:27 Mo 02.07.2007 | | Autor: | cutter |
[mm] E\left( e^{it(X+Y)} \right) \cdot E\left( e^{it(X-Y)} \right)=E\left( e^{itX} \right) \cdot E\left( e^{itY} \right)\cdot E\left( e^{itX} \right) \cdot E\left( e^{-itY} \right) [/mm] und weil die X und Y identisch verteilt sind folgt
[mm] \varphi_X(t) \cdot \varphi_X(t) \cdot \varphi_Y(t) \cdot \varphi_Y(-t)=(\varphi_X(t))^3 \cdot \varphi_X(-t) [/mm]
so sind denn die anderen ansaetze und begruendungen richtig ?...
also ich soll ja nun zeigen,dass [mm] \psi [/mm] so existiert , dass [mm] \psi=\varphi(t) \cdot (\varphi(-t))^{-1} [/mm] und [mm] \psi [/mm] =1.... habe ja die gleichung umgeformt und mit dem komplex konjugierten versucht zu begruenden...ist das korrekt?....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 03.07.2007 | | Autor: | cutter |
kannst du dir das bitte nochmal anschauen was ich da gemacht habe ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Do 05.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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