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Forum "stochastische Analysis" - Stochastische Konvergenz
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Stochastische Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mo 30.11.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige, dass dann für jede stetige Funktion [mm] g:\IR\to\IR [/mm] die Folge [mm] (g(Z_{n}))_{n\in\IN} [/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!

Hallo!

Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine Lösung zu werfen:

Mir ist gegeben, dass [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] stochastischen gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt:

[mm] $\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to [/mm] 0$

Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm] $\forall x_{0}\in\IR$ [/mm] :

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

-------

Ich muss ja zeigen, dass

[mm] $\IP(|g(X_{n})-g(c)|\ge \epsilon) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) \to [/mm] 0$

gilt, also dachte ich mir, ich assoziiere [mm] $X_{n}(\omega) [/mm] = [mm] x\in\IR$ [/mm] und [mm] $x_{0} [/mm] = c$, damit ich die Stetigkeit von oben benutzen kann (also dass man sieht, dass es gilt). Dann ist nämlich

[mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) [/mm] = [mm] \IP(\{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\}) [/mm]

(bzw. für die x, die von [mm] X_{n}(\omega) [/mm] erzeugt werden, aber ich will es ja nachher eh' wieder rücksubstituieren).

Nun dachte ich, daraus folgern zu können: Da die Gleichung in der Stetigkeit ja nicht gilt, muss die Menge [mm] \{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\} [/mm] gerade der Menge [mm] \{x\in\IR:|x- x_{0}|\ge \delta\} [/mm]

entsprechen, also ist:

[mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\}) [/mm] = [mm] \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to [/mm] 0.

Dieses [mm] \delta, [/mm] das hängt doch aber von [mm] \varepsilon [/mm] und c ab, oder? Ist das schlimm? Eigentlich nicht, weil beide konstant sind, oder?

Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.

        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Moin Stefan!

> Sei [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die
> stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige,
> dass dann für jede stetige Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm] die Folge
> [mm](g(Z_{n}))_{n\in\IN}[/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!
>  
> Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine
> Lösung zu werfen:
>  
> Mir ist gegeben, dass [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] stochastischen
> gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt:
>  
> [mm]\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) = \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to 0[/mm]

Anders gesagt: fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} \IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \varepsilon) [/mm] = 1$.

> Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm]\forall x_{0}\in\IR[/mm]
> :
>  
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon[/mm]

Genau. Insbesondere ist (fuer festes $n$) also [mm] $\{ \omega : |g(X_n(\omega)) - g(c)| < \varepsilon \}$ [/mm] eine Obermenge von [mm] $\{ \omega : |X_n(\omega) - c| < \delta \}$. [/mm] Insbesondere gilt also [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \le \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$. [/mm]

Was sagt dies ueber [mm] $\lim_{n\to\infty} \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$ [/mm] aus?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo felix,

danke für deine Antwort!
Ja, das mit der Obermenge leuchtet mir jetzt ein.

> Moin Stefan!
>  
> > Sei [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen, die
> > stochastisch gegen eine Konstante c konvergiert. Zeige,
> > dass dann für jede stetige Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm] die Folge
> > [mm](g(Z_{n}))_{n\in\IN}[/mm] stochastisch gegen g(c) konvergiert!
>  >  
> > Ich möchte euch bitten, einen kritischen Blick auf meine
> > Lösung zu werfen:
>  >  
> > Mir ist gegeben, dass [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] stochastischen
> > gegen c konvergiert, d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gilt:
>  >  
> > [mm]\IP(|X_{n}-c|\ge \epsilon) = \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \varepsilon\}) \to 0[/mm]
>  
> Anders gesagt: fuer jedes [mm]\varepsilon > 0[/mm] gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty} \IP(|X_n - c| < \varepsilon) = 1[/mm].
>  
> > Nun habe ich noch, dass g stetig ist, d.h. [mm]\forall x_{0}\in\IR[/mm]
> > :
>  >  
> > [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \forall x\in\IR \mbox{ mit } |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| < \epsilon[/mm]
>  
> Genau. Insbesondere ist (fuer festes [mm]n[/mm]) also [mm]\{ \omega : |g(X_n(\omega)) - g(c)| < \varepsilon \}[/mm]
> eine Obermenge von [mm]\{ \omega : |X_n(\omega) - c| < \delta \}[/mm].
> Insbesondere gilt also [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \le \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm].
>  
> Was sagt dies ueber [mm]\lim_{n\to\infty} \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm]
> aus?

Ich bin mir noch nicht ganz sicher, aber wo ich ja hin will, ist dass [mm] \IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \to [/mm] 1 konvergiert für [mm] n\to\infty. [/mm] Weil dann folgt daraus natürlich wegen der Ungleichung [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \le \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon)$ [/mm] dass auch $ [mm] \IP(|g(X_n) [/mm] - g(c)| < [mm] \varepsilon) \to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty. [/mm]

Mir ist aber noch nicht ganz klar, wieso [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \delta) \to [/mm] 1$ ist. Ich weiß ja nur dass [mm] $\IP(|X_n [/mm] - c| < [mm] \varepsilon) \to [/mm] 1$ ist.

Das scheint jetzt aber kein wahrscheinlichkeitstheoretisches, sondern ein analytisches Problem zu sein.

Kannst du mir nochmal helfen?

Grüße,
Stefan

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Mi 02.12.2009
Autor: felixf

Hallo Stefan!

>  Ja, das mit der Obermenge leuchtet mir jetzt ein.

Gut :)

> Ich bin mir noch nicht ganz sicher, aber wo ich ja hin
> will, ist dass [mm]\IP(|X_n[/mm] - c| < [mm]\delta) \to[/mm] 1 konvergiert
> für [mm]n\to\infty.[/mm] Weil dann folgt daraus natürlich wegen
> der Ungleichung [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \le \IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon)[/mm]
> dass auch [mm]\IP(|g(X_n) - g(c)| < \varepsilon) \to 1[/mm] für
> [mm]n\to\infty.[/mm]

Genau.

> Mir ist aber noch nicht ganz klar, wieso [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \to 1[/mm]
> ist. Ich weiß ja nur dass [mm]\IP(|X_n - c| < \varepsilon) \to 1[/mm]
> ist.

Na, ob du das jetzt [mm] $\delta$ [/mm] oder [mm] $\varepsilon$ [/mm] nennst ist doch egal. Wenn [mm] $X_n$ [/mm] stochastisch gegen $c$ konvergiert, dann gilt fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, dass [mm]\IP(|X_n - c| < \varepsilon) \to 1[/mm]. Und ebenso gilt fuer jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$, dass [mm]\IP(|X_n - c| < \delta) \to 1[/mm]. Du kannst es auch [mm] $\zeta$ [/mm] oder [mm] $\aleph$ [/mm] oder $x$ nennen, es gilt immer noch ;)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Felix,

danke für deine Antwort, habe es mir nochmal durch den Kopf gehen lassen. Was mich nur irritiert hatte war, dass [mm] \delta [/mm] ja von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt. Das ist aber egal, da die Stochastische Konvergenzaussage ja für alle [mm] \varepsilon' [/mm] > 0 galt.

Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Mi 02.12.2009
Autor: iks

Hallo Stefan!

> Nun dachte ich, daraus folgern zu können: Da die Gleichung
> in der Stetigkeit ja nicht gilt, muss die Menge
> [mm]M_1:=\{x\in\IR:|g(x)- g(x_{0})|\ge \varepsilon\}[/mm] gerade der
> Menge [mm]M_2:=\{x\in\IR:|x- x_{0}|\ge \delta\}[/mm]
>  

Bist du sicher das die Gleichheit [mm] $M_1=M_2$ [/mm] der obigen Mengen wirklich gilt? Die Stetigkeit schließt doch nicht aus, das ausserhalb der Deltakugel noch Elemente $x'$ existieren, so dass [mm] $|f(x')-f(x_o)|<\epsilon$ [/mm] gilt. [mm] $M_1\subset M_2$ [/mm] sollte aber stimmen.

> entsprechen, also ist:
>  
> [mm] $\IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\})= \IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to0$ [/mm]
>  
>

Obiges änderte sich dann zu:

[mm] $\IP(\{\omega\in\Omega:|g(X_{n}(\omega) )- g(c)|\ge \varepsilon\})\leq\IP(\{\omega\in\Omega:|X_{n}(\omega) - c|\ge \delta\}) \to0$ [/mm]

Die Richtigkeit des Rest's kann ich (noch) nicht überblicken.

mFg iks

Bezug
                
Bezug
Stochastische Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Mi 02.12.2009
Autor: steppenhahn

Danke iks,

du hast recht, da hab ich mich wohl vertan.

Grüße,
Stefan

Bezug
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