www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Stochastische Unabhängigkeit
Stochastische Unabhängigkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stochastische Unabhängigkeit: Idee,Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Di 02.12.2014
Autor: LGS

Aufgabe
Geben sie möglich einfache Beispiele(auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum) von je drei Ereignissen $A,B$ und $C $mit folgenden Eigenschaften  an:

$a) P( A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(B)*P(C),$aber $A,B $und $C $sind nicht unabhängig.

$b)$ $ A,B $ und $ C$ sind paarweise unabhängig,aber nicht unabhängig

$a)$
ich hab mir das erst mal so gedacht ,ich weis nicht ,ob das falsch oder richtig ist

$P( A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(B)*P(C)$

$P( A [mm] \cap [/mm] B)  = P(A)*P(B)$


$P( A  [mm] \cap [/mm] C) = P(A)*P(C)$


$P( B [mm] \cap [/mm] C) = P(B)*P(C)$

aber ich weis nichts damit anzufangen

zur $b) $hab ich keine Ahnung


        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Di 02.12.2014
Autor: Ladon

Hallo LGS,

es geht darum Beispiele für die jeweiligen Aussagen zu finden.
Noch einmal die Definition von (stochastisch) unabhängig. [mm] (A_i)_{i\in I} [/mm] heißen stochastisch unabhängig bzgl. P, ganau dann, wenn [mm] \forall m\in\IN [/mm] und [mm] $i_1,...,i_m\in [/mm] I$ paarweise verschieden gilt [mm] P(A_{i_1}\cap...\cap A_{i_m})=P(A_{i_1})\cdot...\cdot P(A_{i_m}). [/mm]
Ein Beispiel für b):
Ein Beispiel für A,B,C nicht stochastisch unabhängig, wäre:
[mm] \Omega=\{1,...,6\}^2, [/mm] Laplace-Experiment.
[mm] A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm]
[mm] B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\} [/mm]
[mm] C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm]
Offensichtlich: [mm] $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{6}$. [/mm] Zwar sind A,B,C paarweise stochastisch unabhängig, was man leicht zeigen kann, aber sie sind nicht stochastisch unabhängig, denn
[mm] $P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{36}\neq(\frac{1}{6})^3=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.

Vielleicht hast du jetzt einen Ansatz für a). Ein Ansatz:
[mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm]
[mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3} [/mm]
$p(4)=p(5)=p(6)=0$.
Wie können bei diesem Wurf mit einem gezinkten Würfel die Mengen A,B,C aussehen, die das geforderte leisten? Also [mm] $P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.

MfG
Ladon

Bezug
                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Mi 03.12.2014
Autor: LGS

Hi Ladon,

wenn ich das nochmal rekapitulieren darf,

$ [mm] A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |A| [mm] :=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}$ [/mm]
$ [mm] B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |B|:= [mm] \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}$ [/mm]
$ [mm] C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\} [/mm] , |C|:= [mm] \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$ [/mm]
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}^2, [/mm] $

$ [mm] \frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$ [/mm]

$ [mm] \frac{|P(B)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$ [/mm]

$ [mm] \frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}$ [/mm]

[mm] $\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(A)*P(B)  [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.

[mm] $\frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(A)*P(C)  [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.

[mm] $\frac{|P(B \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} [/mm] = P(B)*P(C)  [mm] \Rightarrow [/mm] $stoch. unabhängig.

[mm] $\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{36} \neq [/mm] P(A)*P(B) *P(C) = [mm] \frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{216}$ [/mm]


ich hab jetzt einen Plan wie das system abläuft,wie man sowas prüft!!danke Ladon,jedoch weiss ich nicht wie ich für die Ereignisse A,B und C  deine Hilfe verwenden kann,sodass ich aufgabenstellung a) lösen kann,....:(

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mi 03.12.2014
Autor: Ladon


> Hi Ladon,
>  
> wenn ich das nochmal rekapitulieren darf,
>
> [mm]A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\} , |A| :=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}[/mm]
>  
> [mm]B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\} , |B|:= \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}[/mm]
>  
> [mm]C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\} , |C|:= \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}[/mm]

Du meinst sicherlich
[mm]A=\{(i,6)|i\in\{1,...,6\}\}=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}[/mm], $|A|=6$
[mm]B=\{(6,j)|j\in\{1,...,6\}\}= \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}[/mm], $|B|=6$
[mm]C=\{(i,i)|i\in\{1,...,6\}\}= \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}[/mm], $|C|=6$

> [mm]\frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>  
> [mm]\frac{|P(B)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>  
> [mm]\frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{1}{6}[/mm]
>  
> [mm]\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(B) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>  
> [mm]\frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(C) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>  
> [mm]\frac{|P(B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(B)*P(C) \Rightarrow [/mm]stoch.
> unabhängig.
>  
> [mm]\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} \neq P(A)*P(B) *P(C) = \frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} = \frac{1}{216}[/mm]

Ansonsten OK. Ich würde aber
[mm]\frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} \neq \frac{1}{216}=\frac{1}{6}*\frac{1}{6}*\frac{1}{6} =P(A)*P(B) *P(C) [/mm]
schreiben.

EDIT: Die Folgerung
[mm]\frac{|P(A \cap B)|}{|\Omega|} = \frac{1}{36} = P(A)*P(B) \Rightarrow [/mm]stoch. unabhängig
ist nicht zulässig. Aus
[mm] $P(A\cap [/mm] B)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(B)$ UND
[mm] $P(A\cap [/mm] C)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(C)$ UND
[mm] $P(B\cap [/mm] C)= [mm] P(B)\cdot [/mm] P(C)$
folgt, dass A,B,C paarweise stochastisch unabhängig sind. Mach dir die Definitionen noch mal klar. A,B,C sind stochastisch unabhängig, wenn zusätzlich zu [mm] $P(A\cap [/mm] B)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(B)$ UND [mm] $P(A\cap [/mm] C)= [mm] P(A)\cdot [/mm] P(C)$ UND [mm] $P(B\cap [/mm] C)= [mm] P(B)\cdot [/mm] P(C)$ auch noch  $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $ gilt!

>
> ich hab jetzt einen Plan wie das system abläuft,wie man
> sowas prüft!!danke Ladon,jedoch weiss ich nicht wie ich
> für die Ereignisse A,B und C  deine Hilfe verwenden
> kann,sodass ich aufgabenstellung a) lösen kann,....:(

Zu a):
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm] $
$ [mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3} [/mm] $
$ p(4)=p(5)=p(6)=0 $.
Wie können bei diesem Wurf mit einem gezinkten Würfel die Mengen A,B,C aussehen, die das geforderte leisten? Also $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $. (Zitat aus Antwort oben)

Zu a) suchst du dir also Mengen [mm] A,B,C\subseteq \Omega, [/mm] für die zwar  $ [mm] P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C) $, aber
[mm] $P(A\cap B)\neq P(A)\cdot [/mm] P(B)$ oder
[mm] $P(A\cap C)\neq P(A)\cdot [/mm] P(C)$ oder
[mm] $P(B\cap C)\neq P(B)\cdot [/mm] P(C)$.

LG
Ladon

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Do 04.12.2014
Autor: LGS

Ladon :)

ich finde zu deinem Suggestionen keine Ereignisse A,B und C.

jedoch sind mir andere eingefallen

vorrausgesetzt fairer Würfel

[mm] $\Omega [/mm] := [mm] \{1,..,6\}$ [/mm]

$A:= [mm] \{k : k \in \{1,2,3\} \}$ [/mm]
$B:= [mm] \{\emptyset\}$ [/mm]
$C:= [mm] \{j : j \in \{3,4,5\} \}$ [/mm]


$ [mm] \frac{|P(A)|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

$ [mm] \frac{|P(B)|}{|\Omega|}= [/mm] 0$

$ [mm] \frac{|P(C)|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

$ [mm] \frac{|P(A \cap B \cap C)|}{|\Omega|} =\frac{|P( \emptyset)|}{|\Omega|} [/mm] = 0= P(A)*P(B)*P(C)= [mm] \frac{1}{2}*0*\frac{1}{2}$ [/mm]

also sind sie unabhängig

nun paarweise überprüfung

$ [mm] \frac{|P(A \cap C)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|P( 1)|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{6} \neq [/mm] P(A)*P(C)= [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}. [/mm]


ich glaube ,dass das so ok ist,aber wenn es falsch ist ,bitte belehre mich eines Besseren, dennoch möchte ich mich entschuldigen,dass ich deine Tipps nicht umsetzen konnte,die du mir indeinem Ansatz für die $   a) $ geliefert hast, pardon ladon





Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Fr 05.12.2014
Autor: luis52


> ich glaube ,dass das so ok ist,aber wenn es falsch ist
> ,bitte belehre mich eines Besseren,

Moin, kleine Korrektur: Schreibe [mm] $B=\emptyset$ [/mm] und nicht [mm] $B=\{\emptyset\}$. [/mm]
Letzteres ist eine einlelementige Menge.

Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Fr 05.12.2014
Autor: LGS

Ist die aufgabe jetzt so richtig bearbeitet?

Bezug
                                                        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Fr 05.12.2014
Autor: Ladon

Dein Beispiel ist in der Tat richtig, wenn man von ein paar Schreibfehlern absieht. Es muss

[mm] B=\emptyset [/mm]

$ [mm] P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

$ [mm] P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}= [/mm] 0 $

$ [mm] P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}= \frac{3}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $

$ P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap C)=\frac{|A \cap B \cap C|}{|\Omega|} =\frac{| \emptyset|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] 0=\frac{1}{2}\cdot{}0\cdot{}\frac{1}{2}= P(A)\cdot{}P(B)\cdot{}P(C) [/mm]  $ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stochastisch unabhängig.

$ P(A [mm] \cap C)=\frac{|A \cap C|}{|\Omega|} [/mm]  = [mm] \frac{|\{3\}|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{6} \neq \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2} [/mm] =  P(A)*P(C) . $ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht paarweise stochastisch unabhängig.

heißen! Achte auf deine Notation!

[mm] \emptyset [/mm] entspricht in der Realität einem unmöglichen Ergebnis. Allerdings finde ich den Weg direkt über [mm] \emptyset [/mm] zu gehen etwas "unelegant".
Mein Beispiel wäre z.B. folgendes gewesen:
$ [mm] \Omega=\{1,...,6\}, [/mm] $
$ [mm] p(1)=p(2)=p(3)=\frac{1}{3} [/mm] $
$ p(4)=p(5)=p(6)=0 $. "unfairer Würfel"
[mm] A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{5\}. [/mm] Dann ist
[mm] $P(A\cap B\cap C)=P(\emptyset)=0=P(A)\cdot P(B)\cdot [/mm] P(C)$.
Aber [mm] $P(A\cap B)=P(\emptyset)=0\neq\frac{1}{9}=P(A)\cdot [/mm] P(B)$.
Vielleicht siehst du jetzt auch, warum ich $ p(4)=p(5)=p(6)=0 $ gewählt habe. So komme ich ohne die leere Menge aus.

MfG
Ladon

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de