Störfunktion mit ln(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 12.08.2012 | | Autor: | st3f4n |
| Aufgabe | | y'' + 4y' + 4y = e^(-2x)*ln(x) |
Hallo Leute,
ich komme an dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Mir ist klar, wie ich den homogenen Teil der Lösung ausrechne (y'' + 4y' + 4y = 0).
Als Lösung habe ich dort y0 = (C1x + C2) * e^(-2x).
Doch wie gehe ich bei der Störfunktion mit dem ln(x) um? Habe da leider keinerlei Idee!
Hoffe ich verstoße mit meinem Post nicht gegen eure Forenregeln.
Danke für eure Hilfe.
Gruß Stefan
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Stefan,
> y'' + 4y' + 4y = e^(-2x)*ln(x)
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> Hallo Leute,
> ich komme an dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Mir
> ist klar, wie ich den homogenen Teil der Lösung ausrechne
> (y'' + 4y' + 4y = 0).
> Als Lösung habe ich dort y0 = (C1x + C2) * e^(-2x).
Die ist auch soweit richtig.
>
> Doch wie gehe ich bei der Störfunktion mit dem ln(x) um?
Die Störfunktion ist s(x)=e^(-2x)*ln(x)
Also ein bisschen mehr, als nur der Logarithmus.
> Habe da leider keinerlei Idee!
Für diesen Typ der Störfunktion ist mir leider kein Ansatz bekannt, der dich zum Ziel führt - vllt. aber den anderen Wissenden des Forums?!
Was ja aber immer zum Ziel führt ist die Variation der Konstanten.
Betrachte dazu [mm] y_h=(a(x)*x+b(x))*e^{-2x} [/mm] und leite dementsprechend ab. Den Teil wo a'(x) und b'(x) steht, setzt du null.
Setze dann y'' und y' in die Ausgangs-DGL ein.
Es ergibt sich ein LGS für a'(x) und b'(x) aus der Ausgangs-DGL und dem Teil, den du =0 gesetzt hast.
Eventuell hattet ihr in der Vorlesung auch bereits die schnelle Möglichkeit der Berechnung mittels Cramerscher Regel? Der Weg ist derselbe, nur kann man schnell dann die variablen Konstanten (btw: schönes Oxymoron) bestimmen.
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> Hoffe ich verstoße mit meinem Post nicht gegen eure
> Forenregeln.
> Danke für eure Hilfe.
Also:
1. Die zwei Ableitungen bestimmen (zweite Ableitung ist einfacher, wegen dem nächsten Punkt)
2. Den Teil mit a'(x) und b'(x) "null setzen"
3. In DGL einsetzen und Vereinfachen
4. LGS lösen
5. a'(x) und b'(x) nach x integrieren
6. in [mm] y_h(x) [/mm] einsetzen und so eine spezielle Lösung erhalten.
7. allgemeine Lösung aufschreiben
8. sich über das Ergebnis freuen!
Falls Fragen auftauchen: Nachfragen! :)
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> Gruß Stefan
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> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo st3f4n,
> y'' + 4y' + 4y = e^(-2x)*ln(x)
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> Hallo Leute,
> ich komme an dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Mir
> ist klar, wie ich den homogenen Teil der Lösung ausrechne
> (y'' + 4y' + 4y = 0).
> Als Lösung habe ich dort y0 = (C1x + C2) * e^(-2x).
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> Doch wie gehe ich bei der Störfunktion mit dem ln(x) um?
> Habe da leider keinerlei Idee!
>
Da das charakteristische Polynom der homogenen DGL
eine doppelte Lösung hat, kannst Du das mit diesem Ansatz probieren:
[mm]y_{p}\left(x\right)=x^{2}*e^{\left(-2\right)x}*\left(a*\ln\left(x\right)+b\right)[/mm]
Da in der Störfunktion der ln in der ersten Potenz vorkommt.
> Hoffe ich verstoße mit meinem Post nicht gegen eure
> Forenregeln.
> Danke für eure Hilfe.
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> Gruß Stefan
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> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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