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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Störgliedansatz finden
Störgliedansatz finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Störgliedansatz finden: nur noch eine Kleinigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:15 Mi 08.07.2009
Autor: s3rial_

Hallo, nochmal ganz kurz. Ich habe mir jetzt die verschiedenen Ansätze angeignet:

g(x)= [mm] e^{cx} [/mm]
Ansatz: A [mm] e^{cx} [/mm]
Ansatz einfache Nullstelle: A x [mm] e^{cx} [/mm]
Ansatz doppelte Nullstelle: A [mm] x^2 e^{cx} [/mm]

g(x)= [mm] sin(\beta [/mm] x)
Ansatz: A [mm] sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x)
Ansatz einfache Nullstelle: x(A [mm] sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x))
Ansatz doppelte Nullstelle: [mm] x^2(A sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x))

[mm] g(x)=x^2 [/mm]
Ansatz: A [mm] x^2 [/mm] +B x + C
falls homogene Gleichung y=0 Ansatz: x(A [mm] x^2 [/mm] +b x + C)
falls homogene Gleichung y' =0 & y=0  Ansatz: [mm] x^2(A x^2 [/mm] +b x + C)

Allerdings sind mir noch ein paar dinge nicht ganz klar:
was mache ich wen g(x) = [mm] x^2 [/mm] +7x+8 lautet der Ansatz dann wie folgt?:
    A [mm] x^2 [/mm] +7B x + 8C

Und nochmal kurz zu dieser Störfunktion g(x)= x [mm] e^{-x} [/mm] warum haben wir da den Ansatz "A [mm] x^2 e^{-x}" [/mm] gewählt?
Bindet die E-Funktion mehr als das x? Weil das ist doch eigentlich eine zusammengesetzte Störfunktion aus x und [mm] e^{-x} [/mm] und laut Buch müsste ich die Ansätze Multiplizieren.

Also: (A [mm] x^2 e^{-x}) [/mm] (Bx+C)


Nochmal danke an alle die mir in den letzten Tagen geholfen haben, war nicht ganz einfach mit mir, muss ich zugeben.
Das sollte meine letze frage sein in Richtung Störfunktion, ich wäre sehr dankbar wenn dies noch jemand klarstellen könnte.

Großes dankeschön schonmal an den jenigen der sich die Mühe macht.


        
Bezug
Störgliedansatz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mi 08.07.2009
Autor: fred97




http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin/Wirtschaftsmathematik_WIB/Ansatz inhomogene Dgl.pdf


FRED

Bezug
        
Bezug
Störgliedansatz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Mi 08.07.2009
Autor: fencheltee


> Hallo, nochmal ganz kurz. Ich habe mir jetzt die
> verschiedenen Ansätze angeignet:
>  
> g(x)= [mm]e^{cx}[/mm]
> Ansatz: A [mm]e^{cx}[/mm]
>  Ansatz einfache Nullstelle: A x [mm]e^{cx}[/mm]
>  Ansatz doppelte Nullstelle: A [mm]x^2 e^{cx}[/mm]
>  
> g(x)= [mm]sin(\beta[/mm] x)
> Ansatz: A [mm]sin(\beta[/mm] x) + B [mm]cos(\beta[/mm] x)
> Ansatz einfache Nullstelle: x(A [mm]sin(\beta[/mm] x) + B [mm]cos(\beta[/mm]
> x))
>  Ansatz doppelte Nullstelle: [mm]x^2(A sin(\beta[/mm] x) + B
> [mm]cos(\beta[/mm] x))
>  
> [mm]g(x)=x^2[/mm]
>  Ansatz: A [mm]x^2[/mm] +B x + C
> falls homogene Gleichung y=0 Ansatz: x(A [mm]x^2[/mm] +b x + C)
>  falls homogene Gleichung y' =0 & y=0  Ansatz: [mm]x^2(A x^2[/mm] +b
> x + C)

naja eigentlich braucht man sich ja nur zu merken, den ansatz mit x zu multiplizieren, wenn der vorige ansatz schon element der homogenen lösung ist.

>  
> Allerdings sind mir noch ein paar dinge nicht ganz klar:
>  was mache ich wen g(x) = [mm]x^2[/mm] +7x+8 lautet der Ansatz dann
> wie folgt?:
>      A [mm]x^2[/mm] +7B x + 8C

nein, [mm] A*x^2+B*x+C [/mm]
die großbuchstaben in den Störgliedtabellen stehen für koeffizienten, die zu berechnen sind, die kleinen buchstaben zum einsetzen des bekannten wertes.

>
> Und nochmal kurz zu dieser Störfunktion g(x)= x [mm]e^{-x}[/mm]
> warum haben wir da den Ansatz "A [mm]x^2 e^{-x}"[/mm] gewählt?
> Bindet die E-Funktion mehr als das x? Weil das ist doch
> eigentlich eine zusammengesetzte Störfunktion aus x und
> [mm]e^{-x}[/mm] und laut Buch müsste ich die Ansätze
> Multiplizieren.

mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die dgl noch dazu angeben ;-)

>  
> Also: (A [mm]x^2 e^{-x})[/mm] (Bx+C)
>  
>
> Nochmal danke an alle die mir in den letzten Tagen geholfen
> haben, war nicht ganz einfach mit mir, muss ich zugeben.
>  Das sollte meine letze frage sein in Richtung
> Störfunktion, ich wäre sehr dankbar wenn dies noch jemand
> klarstellen könnte.
>  
> Großes dankeschön schonmal an den jenigen der sich die
> Mühe macht.
>  


Bezug
                
Bezug
Störgliedansatz finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Mi 08.07.2009
Autor: s3rial_


>  mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die
> dgl noch dazu angeben ;-)


Ist die dabei so Wichtig? Spielen dabei nicht nur die Nullstellen der Charakteristischen Gleichung eine Rolle?



Bezug
                        
Bezug
Störgliedansatz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mi 08.07.2009
Autor: fencheltee


>
> >  mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die

> > dgl noch dazu angeben ;-)
>  
>
> Ist die dabei so Wichtig? Spielen dabei nicht nur die
> Nullstellen der Charakteristischen Gleichung eine Rolle?
>
>  

naja, bei [mm] g(x)=x*e^{-x} [/mm] wär mein ansatz nach superpositionsprinzip [mm] z(x)=(A*x+B)*C*e^{-x} [/mm] gewesen, falls A*x+B [mm] \not\in y_h [/mm] und [mm] C*e^{-x} \not\in y_H [/mm]
Daher würd ich gern mal die dgl sehen um deinen ansatz nachzuvollziehen ;-)

Bezug
                                
Bezug
Störgliedansatz finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Mi 08.07.2009
Autor: s3rial_

das war die von Gestern:
y''+2y'+y= [mm] xe^{-x} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Störgliedansatz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Mi 08.07.2009
Autor: fencheltee


> das war die von Gestern:
>  y''+2y'+y= [mm]xe^{-x}[/mm]  

achso, ja richtig ;-)
also ich weiss nicht ob es kürzer geht - ich habs nach unseren alten mitteln gemacht:
[mm] y''+2y'+y=x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_H=c_1*e^{-x}+c_2*x*e^{-x} [/mm]
[mm] r(x)=x*e^{-x} [/mm]
Ansatz:
[mm] z_1(x)=(A*x+B) \not\in y_H [/mm]
[mm] z_2(x)=C*e^{-x} \in y_H (c_1*e^{-x}) [/mm] also mit x multiplizieren:
[mm] z_2(x)=C*x*e^{-x} \in y_H (c_2*x*e^{-x}) [/mm] also nochmal mit x multiplizieren:
[mm] z_2(x)=C*x^2*e^{-x} \not\in y_H [/mm]

also ist unser gesamtansatz: [mm] z(x)=z_1(x)*z_2(x)=(A*x+b)*C*x^2*e^{-x}=A*C*x^3*e^{-x}+B*C*x^2*e^{-x} [/mm]
A*C nennen wir jetzt D und B*C nennen wir E, somit
[mm] z(x)=D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x} [/mm]

[mm] z'(x)=D*e^{-x}(3x^2-x^3)+E*e^{-x}(2x-x^2) [/mm]
[mm] z''(x)=D*e^{-x}(6*x-6x^2+x^3)+E*e^{-x}*(2-4x+x^2) [/mm]

[mm] z''(x)+2z'(x)+z(x)=x*e^{-x} [/mm]
[mm] =D*e^{-x}(6*x-6x^2+x^3)+E*e^{-x}*(2-4x+x^2)+2*[D*e^{-x}(3x^2-x^3)+E*e^{-x}(2x-x^2)]+D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x}=x*e^{-x} [/mm]

nun koeffizientenvergleich mit der letzten gleichung anstellen:
[mm] (e^{-x}): E*2=0\gdw [/mm] E=0
[mm] (e^{-x}*x): 6*D-4*E+2*E=1\gdw [/mm] 6*D=1 [mm] \gdw D=\frac{1}{6} [/mm]
[mm] (e^{-x}*x^2): [/mm] kommt 0=0 raus, wegen Resonanz
[mm] (e^{-x}*x^3): [/mm] hier dasselbe
so nun setzen wir das E=0 und [mm] D=\frac{1}{6} [/mm] in den Ansatz von oben ein:
[mm] z(x)=D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x}=\frac{1}{6}*x^3*e^{-x} [/mm]
[mm] \uline{y_I=y_H+z=c_1*e^{-x}+c_2*x*e^{-x}+\frac{1}{6}*x^3*e^{-x}} [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Störgliedansatz finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mi 08.07.2009
Autor: s3rial_

super danke, hast dir echt Mühe gegeben, rechne ich dir hoch an!
Und das beste ist, vertsanden habe ichs auch, gefällt mir zwar nicht, weil es verdammt viel rechnerei ist, aber ist logisch und leicht verständlich.
Läuft ;)


EDIT:
Verdammt [mm] sorry^2 [/mm] sollte wieder eine Mitteilung werden

Bezug
                                                        
Bezug
Störgliedansatz finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mi 08.07.2009
Autor: fencheltee


> super danke, hast dir echt Mühe gegeben, rechne ich dir
> hoch an!

gern!

>  Und das beste ist, vertsanden habe ichs auch, gefällt mir
> zwar nicht, weil es verdammt viel rechnerei ist, aber ist
> logisch und leicht verständlich.

naja, an der schreibarbeit kommt man wohl nicht drum rum ;-)

>  Läuft ;)
>  
> EDIT:
>  Verdammt [mm]sorry^2[/mm] sollte wieder eine Mitteilung werden

mh, dann versteck ich diese mitteilung mal als antwort


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