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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mo 09.11.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hallo habe also mal angefangen mit der b)
dazu von phi die partiellen Ableitungen gebildet, ich dachte mir Phi sei schon parametrisiert weil ich nur 2 parameter sehe.
demnach
[mm] \phi_u [/mm] (-sin*cos^2v, cosu*cosv,0)T
[mm] \phi_v [/mm] (-cosu*sinv, -sinu*sinv, cosv)
stimmt das?
dann habe ich x->u, y->v in H eingesetzt
und rot berechnet
rotH:( 2v, -2u, 2u-1)
stimmt das?
dann habe ich das Vektorprodukt gebildet:
[mm] \pmat{ cosu cos^2v \\ sinu cos^2v\\sinvcosv }
[/mm]
stimmt das noch?
davon hab ich mit rotH das Skalarprodukt gebildet
[mm] 2v*cosu*cos^2-2u*sinu*cos^2*v+2u*cosu*cos^2*v -2usin*v*cos^2*v
[/mm]
und das sieht nicht mehr richtig aus :(
wer kann mir helfen, habe schon xmal nachgerechnet
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo domerich,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hallo habe also mal angefangen mit der b)
>
> dazu von phi die partiellen Ableitungen gebildet, ich
> dachte mir Phi sei schon parametrisiert weil ich nur 2
> parameter sehe.
>
> demnach
>
> [mm]\phi_u[/mm] (-sin*cos^2v, cosu*cosv,0)T
>
> [mm]\phi_v[/mm] (-cosu*sinv, -sinu*sinv, cosv)
>
> stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann habe ich x->u, y->v in H eingesetzt
>
> und rot berechnet
>
> rotH:( 2v, -2u, 2u-1)
Die Wahl ist hier ungünstig, da die Parameter u,v
schon für [mm]\phi[/mm] verwendet werden.
Belasse die Variablen so wie sind:
[mm]\operatorname{rot \ H}=( 2y, -2x, 2x-1)[/mm]
>
> stimmt das?
Auch das stimmt.
>
> dann habe ich das Vektorprodukt gebildet:
>
> [mm]\pmat{ cosu cos^2v \\ sinu cos^2v\\sinvcosv }[/mm]
>
> stimmt das noch?
Ja, das stimmt noch.
>
> davon hab ich mit rotH das Skalarprodukt gebildet
>
> [mm]2v*cosu*cos^2-2u*sinu*cos^2*v+2u*cosu*cos^2*v -2usin*v*cos^2*v[/mm]
[mm]\operatorname{rot \ H} \* \pmat{ cosu *cos^2v \\ sinu*cos^2v\\sinv*cosv }=( 2y, -2x, 2x-1)\* \pmat{ cosu *cos^2v \\ sinu*cos^2v\\sinv*cosv }[/mm]
[mm]=2y*\cos\left(u\right)*\cos^{2}\left(v\right)-2x*\sin\left(u\right)*\cos^{2}\left(v\right)+\left(2x-1\right)*\sin\left(v\right)*\cos\left(v\right)[/mm]
Setze jetzt für x bzw. y die Parametrisierung der Fläche [mm]\phi[/mm] ein.
>
> und das sieht nicht mehr richtig aus :(
>
> wer kann mir helfen, habe schon xmal nachgerechnet
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 09.11.2009 | | Autor: | domerich |
vielen dank soweit, eingesetzt hatte ich meines Erachtens auch schon.
ich mache es noch ein mal:
2v*cosu*cos^2v -2u*sinu*cos^2v+(2v+1) sinv*cosv
und ich sehe nicht wie ich hier vereinfachen kann :(
oder soll ich das aufleiten und vorher mit der funktionaldeterminate von [mm] \phi [/mm] multiplizieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Sorry aber warum benutzt du nicht den Satz von Stokes?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Mo 09.11.2009 | | Autor: | domerich |
ich dachte genau das tue ich!
dazu brauch ich noch die funktionaldetermniante um dann mit fubini aufleiten zu können. aber jemand muss meine rechenschritte verifizieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich hab mir deine Rechnung jetzt nicht im Detail angeschaut, aber ich dachte du rechnest einfach nur dieses Oberflächenintegral aus. Der Satz von Stokes sagt [mm] $$\int_\mathcal{F}\operatorname{rot}\vec{H}\cdot [/mm] N\ [mm] d\sigma=\int_\gamma H\cdot\ d\vec{s}$$ [/mm] D.h. du kannst stattdessen auch eine Parametrisierung des Randes nehmen und das Kurvenintegral auf der rechten Seite berechnen.
Gruß, Robert
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Hallo domerich,
> vielen dank soweit, eingesetzt hatte ich meines Erachtens
> auch schon.
>
> ich mache es noch ein mal:
>
> 2v*cosu*cos^2v -2u*sinu*cos^2v+(2v+1) sinv*cosv
>
> und ich sehe nicht wie ich hier vereinfachen kann :(
Besser so:
[mm]2y*cosu*cos^2v -2x*sinu*cos^2v+(2x+1) sinv*cosv[/mm]
Setze jetzt ein:
[mm]x=\cos\left(u\right)*\cos\left(v\right)[/mm]
[mm]y=\sin\left(u\right)*\cos\left(v\right)[/mm]
Dann wirst Du sehen, daß einiges wegfällt.
>
> oder soll ich das aufleiten und vorher mit der
> funktionaldeterminate von [mm]\phi[/mm] multiplizieren?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | domerich |
also ich habe dann eine summe, die erste wird null weil sinus(u) steht und die grenzen [mm] [o,2\pi] [/mm] sind?
sinvcosv du sind dann 2 [mm] \pi [/mm] sinv cosv
das nach v integriert
kam ich auf [mm] \pi [/mm] sin ^2 v und letztendlich [mm] \pi [/mm] mit pi/2 eingesetzt, stimmt das?
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Hallo doemerich,
> also ich habe dann eine summe, die erste wird null weil
> sinus(u) steht und die grenzen [mm][o,2\pi][/mm] sind?
>
Weil die Stammfunktion [mm]\sin\left(u\right)[/mm],
und [mm]\sin\left(2\pi\right)=\sin\left(0\right)[/mm] ist,
ist der Beitrag hier Null.
>
> sinvcosv du sind dann 2 [mm]\pi[/mm] sinv cosv
>
> das nach v integriert
>
> kam ich auf [mm]\pi[/mm] sin ^2 v und letztendlich [mm]\pi[/mm] mit pi/2
> eingesetzt, stimmt das?
Stimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 10.11.2009 | | Autor: | domerich |
cool :) in a) soll ich ja die fläche zeichnen. wie gehe ich da vor? ich würde gerne mit einer wertetabelle oderso arbeiten.
mein z ist ja irgendwie funktion von x,y oder?
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Hallo domerich,
> cool :) in a) soll ich ja die fläche zeichnen. wie gehe
> ich da vor? ich würde gerne mit einer wertetabelle oderso
> arbeiten.
> mein z ist ja irgendwie funktion von x,y oder?
Die Punkte, die Du zeichenen musst, sind durch
[mm]\pmat{y \\ x^{2} \\ x^{2}+y^{2}}[/mm]
vorgegeben.
Eine Wertetabelle kannst machen.
Die muss dann in etwa so aussehen:
[mm]x \ | \ y \ | \ y^{2} \ |\ y \ | \ x^{2} \ | x^{2}+y^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Di 10.11.2009 | | Autor: | domerich |
aber [mm] \phi [/mm] ist doch die fläche wenn H nur ein vektorfeld ist. ich möchte doch wissen was F [mm] bzw\phi [/mm] für eine fläche ist.
versteh nicht was H damit zu tun hat
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Hallo domerich,
> aber [mm]\phi[/mm] ist doch die fläche wenn H nur ein vektorfeld
> ist. ich möchte doch wissen was F [mm]bzw\phi[/mm] für eine
> fläche ist.
Ok.
>
> versteh nicht was H damit zu tun hat
Nichts.
Dazu kannst Du markante Punkte von [mm]\phi[/mm] skizzieren.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mo 09.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Wenn ich das Richtig sehe ist [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] einfach nur eine Halbkugel, die Funktion [mm] $\gamma:[0,2\pi]\ni\varphi\mapsto(\cos\varphi,\sin\varphi,0)^t\in\IR^3$ [/mm] ist eine Parametrisierung des Randes. Damit erhält man (Satz von Stokes!) jedenfalls: [mm] $$\int_\mathcal{F}\operatorname{rot}\vec{H}\cdot [/mm] N\ [mm] d\sigma=\int_\gamma H\cdot\ d\vec{s}=\int_0^{2\pi} H(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\ dt=\int_0^{2\pi}\left(-\sin^2 t+\cos^3 t\right)\ dt=-\pi.$$ [/mm] Habe mich aber ganz bestimmt irgendwo unterwegs verrechnet 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 10.11.2009 | | Autor: | domerich |
weiß net was du genau gemacht hast aber bis aufs vorzeichen hab ichs auch raus. ein minus vorm ergebnis scheint mir weniger wahrscheinlich.
weiß aber nicht was du gerechnet hast. ich soll ja den normalenvektor aufstellen und so irgendwie was berechnen, dafür steht wohl das N. aber so richtig den durchblick was ich mache hab ich noch nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Di 10.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> weiß net was du genau gemacht hast aber bis aufs
> vorzeichen hab ichs auch raus. ein minus vorm ergebnis
> scheint mir weniger wahrscheinlich
Ja okay, ich habe einen kleinen Fehler gemacht. Man muss bei diesem Kurvenintegral darauf achten, in welchem Drehsinn man den Rand umläuft.
Würde jetzt etwas zu weit führen das im einzelnen zu erklären, auf jeden Fall hätte man [mm] $$\gamma:[0,2\pi]\ni t\mapston(\cos t,-\sin t,0)\in\IR^3$$ [/mm] verwenden müssen, und es wär genau [mm] $\pi$ [/mm] rausgekommen.
> weiß aber nicht was du gerechnet hast. ich soll ja den
> normalenvektor aufstellen und so irgendwie was berechnen,
> dafür steht wohl das N. aber so richtig den durchblick was
> ich mache hab ich noch nicht
Naja, die Aufgabe heißt halt "Satz von Stokes". Ich habe den Satz von Stokes benutzt, du nicht. Der Satz von Stokes macht eine Aussage darüber, wie solche Oberflächenintegrale mit Integralen über dem Rand zusammenhängen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 11.11.2009 | | Autor: | domerich |
ok das hab ich jetzt nachgerechet und kam raus, aber cos^3x aufzuleiten war kein spaß...
was ist denn wirklich der Rand, da bin ich nicht sicher, ist das der Kreis auf dem die Halbkugel steht? ist der rand immer das wenn ich ein 3d objekt zersäge, sprich nie eine Fläche in Verwendung mit diesem Satz? Hätte ich eine Ganze kugel würde es meines verständnisses nach so nicht gehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 11.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> ok das hab ich jetzt nachgerechet und kam raus, aber cos^3x
> aufzuleiten war kein spaß...
Wozu gibts Computer? Hast du verstanden wie man auf das [mm] $\sin^2(t)+\cos^3(t)$ [/mm] kommt?
> was ist denn wirklich der Rand, da bin ich nicht sicher,
> ist das der Kreis auf dem die Halbkugel steht?
Ja.
> ist der rand immer das wenn ich ein 3d objekt zersäge, sprich nie eine
> Fläche in Verwendung mit diesem Satz? Hätte ich eine
> Ganze kugel würde es meines verständnisses nach so nicht gehen.
Also hier musst du bei der Formulierung ein bischen aufpassen. Diese Fläche ist kein "3d-Objekt", sondern ein "2d-Objekt" (genauer: eine 2-dim. Mannigfaltigkeit). Hättest du eine Ganze Kugel (und hier meinst du: Die Oberfläche einer (Voll-)Kugel), dann würde der Satz von Stokes trotzdem gelten und aussagen, dass dieses Integral mit der Rotation usw. über die gesamte Kugeloberfläche gleich 0 ist, kannst du ja mal ausprobieren.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Di 10.11.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | c) Bestimmen sie den Weg [mm] \gamma [/mm] explizit und berechnen Sie anschließend das Integral H*dX über dF |
wie geht das, woher kann ich den weg nehmen? bin völlig am räteseln wie ich hier anfangen soll!
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Hallo,
> c) Bestimmen sie den Weg [mm]\gamma[/mm] explizit und berechnen Sie
> anschließend das Integral H*dX über dF
> wie geht das, woher kann ich den weg nehmen? bin völlig
> am räteseln wie ich hier anfangen soll!
das ist doch genau das, was 'pelzig' 4 posts weiter oben schon gerechnet hat...
gruss
Matthias
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