Stokessche Reibung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 07.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | | Ein Körper falle in einer Flüssigkeit mit stokesscher Reibung nach unten. Untersuchen Sie seine eindimensionale Bewegung mit den Anfangsbedingungen [mm] v_{z}=v_{0} [/mm] zur Zeit t=0! Betrachten Sie die Grenzwerte für große Zeiten! |
Mir ist nicht ganz klar wie ich bei dieser Aufgabe die Zeit mit hereinbringe bzw. wie ich eine Bewegungsgleichung herleiten soll...
Mein Ansatz: Es wirken zwei Kräfte auf den Körper:
[mm] F_{g}=m*g
[/mm]
[mm] F_{s}=K*\gamma*v_{p}
[/mm]
(Die Auftriebskraft sollen wir glaube ich außer acht lassen)
Dann gilt:
-m*a = [mm] K*\gamma*v_{p} [/mm] - m*g
Wenn die Grenzgeschwindigkeit erreicht wurde, dann ist m*a = 0 und [mm] v_{p} [/mm] const. mit [mm] v=-\bruch{m*g}{K*\gamma}
[/mm]
Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie ich nun die Bewegung in dieser Aufgabe untersuchen soll und was für Grenzwerte noch gemeint sein könnten...
Eine weitere Frage: Gilt hier die Beziehung a=v/t? ich habe ja lings eine Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit rechts. Ist dieser Zusammenhang hier gültig? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch eine DGl für v, wenn du a=v' schreibst. lös die, und du hast v(t) und damit dann auch s(t)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 07.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Ich hatte leider noch nie DGL. Allerdings glaube ich, dass ich weiß was du meinst.
Die obige Gleichung lässt sich umschreiben als
-m*s''(t) = [mm] K*\gamma*s'(t)-m*g
[/mm]
Wie löse ich die Gleichung nun nach s(t) auf bzw. wie ist das Vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
v'=-a*v+b
zuerst v'=a*v lösen das sollte man wissen, dass nur die e-fkt mit einmen vielfachen ihrer Ableitung gleich ist
also [mm] v(t)=C*e^{-at} [/mm]
ausserdem ist v`=0 ne Lösung dann v=b/a
also insgesamt [mm] v=b/a+C*e^{-at} [/mm] C bestimmt man aus v(0)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 07.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Meine Frage ist bestimmt blöd... Aber warum sollte ein vielfaches der Ableitung gleich sein? v(t) könnte doch auch eine beliebige Funktion sein...
Und wieso ist der Ansatz c*e^(-at)? Warum "-" und warum nicht c*e^(-at)+b, warum steht das t im exponenten? Ich hoffe, dass sind nicht zu viele Fragen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 07.12.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Meine Frage ist bestimmt blöd... Aber warum sollte ein
> vielfaches der Ableitung gleich sein?
probiers doch aus, die allgemeine e-Fkt. ist [mm] $f(t)=ae^{bt}$. [/mm] Die Ableitung unterscheidet sich nur durch einen Faktor.
> v(t) könnte doch
> auch eine beliebige Funktion sein...
im Prinzip ja, aber wenn wir wissen, dass v'=av gilt, dann lässt sich eine solche Gleichung auf jeden Fall durch die e-Fkt lösen.
> Und wieso ist der Ansatz c*e^(-at)? Warum "-" und warum
Dieser Ansatz ist bei DGL's äußerst hilfreich und kommt oft vor. Warum? siehe oben.
das "-" kommt daher, da der Faktor vor der e-Fkt. negativ ist
> nicht c*e^(-at)+b, warum steht das t im exponenten? Ich
> hoffe, dass sind nicht zu viele Fragen..
Wo soll das t denn sonst stehen wenn nicht im Exponenten? Dann wärs ja keine e-Fkt. mehr. Die Fkt. [mm] f(t)=t\cdot e^{b} [/mm] ist keine e-Fkt. sondern eine Gerade
Hoffe, das hilft Dir weiter.
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man noch nie Differentialgleichungen hatte ist das nicht leicht.
die einfachst Differentialgleichung ist f'(x)=k
daraus sieht man sofort f(x)=k*t+b weil man eben weiß dass nur geraden konstante Steigung haben.
jetzt werden die Dgl aber schwieriger, wenn man einen Zusammenhang zw. funktion und ableitung hat.
wie die einfachst der Art f'(x)=f(x) es ist sofort klar, dass das kein polynom sein kann, denn da hat ja f' einen niedrigeren Grad als x.
dan sucht man in dem Vorrat an funktionen, den man kennt, und hat Glück, wenn man an [mm] e^x [/mm] denkt denn für [mm] f(x)=e^x [/mm] gilt [mm] f'(x)=e^x
[/mm]
das gilt aber auch für [mm] f(x)=c*e^x) f'=c*e^x
[/mm]
und man hat eine lösung der gleichung f'=f
du fragst warum nicht [mm] f(x)=C*e^x+b
[/mm]
einfach: weil die Ableitung dann [mm] c*e^x [/mm] ist also nicht gleich der funktion.
nächster Schritt: f'(x)=a*f(x)
da man schon mal an e-fkt gedacht hat, muss man die jetzt nur wenig ändern mit [mm] f(x)=c*e^{ax} [/mm] gilt [mm] f'(x)=a*c*e^{ax} [/mm] =f(x)
also haben wir eine (bzw da c beliebig ist, viele lösungen. allerdings nur noch eine, wenn wir sagen f(0)=7 daraus folgt [mm] f(0)=C*e^0=C [/mm] also C=7
Dass bei gegebenem anfangswert die lösung hier eindeutig ist hab ich jetz keine Lust zu beweisen. ist aber so.
Gruss leduart
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