Stone Weierstraß < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 06.12.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Spezialfall des Satzes von Stone-Weierstraß:
[mm] \textbf{Satz 0.4.} [/mm] Sei $f : [0, 1] [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] eine stetige Funktion. Dann gibt es eine Folge [mm] $(p_n)_{n \in \IN}$ [/mm] von Polynomen in [mm] $\IR$, [/mm] so dass [mm] $(p_n)$ [/mm] auf dem Intervall $[0, 1]$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
Dies lässt sich bereits mittels einer Teilmenge
$ [mm] \mathfrak{P} [/mm] := [mm] \left\{ B_{i,n}(x) = \vektor{n \\ i} x^i (1 - x)^{n-i} \right\}$
[/mm]
der Polynome auf $[0, 1]$ durch
[mm] $B_n(f)(x) [/mm] = [mm] \summe^n_{i=0} [/mm] f ( [mm] \frac{i}{n} [/mm] ) [mm] B_{i,n}(x)$
[/mm]
folgern. |
Hallo ihr!
Ich hab absolut keine Idee bei der Aufgabe! :( Meine Analysis Kenntnisse haben auch schon ganz schön nachgelassen (*schäm*) und deswegen hab ich absolut keinen Ansatzpunkt! :(
Von unserem Tutor haben wir noch diesen Tipp bekommen:
$ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \; \existis n_0 \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1], [mm] \; \forall [/mm] n [mm] \geq n_0$ [/mm] gilt: $ [mm] \left| f(x) - B_n (f)(x) \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Allerdings hilft mir das auch nicht weiter! :(
Ps.: Sry, für den ersten Post - komme mit der neuen Laptoptastatur noch nicht wirklich klar und da hab ich wohl die falsche Tastenkombination gedrückt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 07.12.2009 | | Autor: | wolle238 |
Wen es noch interessiert:
Hier, auf S. 32 steht der Beweis:
Skript
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:09 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie folgenden Spezialfall des Satzes von
> Stone-Weierstraß:
>
> [mm]\textbf{Satz 0.4.}[/mm] Sei [mm]f : [0, 1] \rightarrow \IR[/mm] eine
> stetige Funktion. Dann gibt es eine Folge [mm](p_n)_{n \in \IN}[/mm]
> von Polynomen in [mm]\IR[/mm], so dass [mm](p_n)[/mm] auf dem Intervall [mm][0, 1][/mm]
> gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
>
> Dies lässt sich bereits mittels einer Teilmenge
> [mm]\mathfrak{P} := \left\{ B_{i,n}(x) = \vektor{n \\ i} x^i (1 - x)^{n-i} \right\}[/mm]
>
> der Polynome auf [mm][0, 1][/mm] durch
> [mm]B_n(f)(x) = \summe^n_{i=0} f ( \frac{i}{n} ) B_{i,n}(x)[/mm]
>
> folgern.
>
> Ich hab absolut keine Idee bei der Aufgabe! :( Meine
> Analysis Kenntnisse haben auch schon ganz schön
> nachgelassen (*schäm*) und deswegen hab ich absolut keinen
> Ansatzpunkt! :(
>
> Von unserem Tutor haben wir noch diesen Tipp bekommen:
>
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \; \forall x \in [0,1], \; \forall n \geq n_0[/mm]
> gilt: [mm]\left| f(x) - B_n (f)(x) \right| < \varepsilon[/mm]
>
> Allerdings hilft mir das auch nicht weiter! :(
Du musst dir erstmal ueberlegen, was du eigentlich zeigen sollst.
Damit eine Folge von Polynomen [mm] $(p_n)_{n\in\IN}$ [/mm] auf $[0, 1]$ gleichmaessig gegen $f$ konvergiert, muss doch gelten: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, 1] [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : |f(x) - [mm] p_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Vergleich das mal mit dem Tipp eures Tutors.
LG Felix
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