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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Fr 28.02.2014 | | Autor: | hula |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Forum
Sei $X$ ein stetiger Prozess und wir definieren für $K\in\mathbb{R}$ und $T(\omega):=\inf\{t\in\mathbb{R}_+|X_t(\omega) \ge K\}$. Nun will ich folgendes zeigen.
$$\{\omega:T(\omega)\le t\}=\cap_{n\ge 1}\cup_{s\in [0,t]\cap \mathbb{Q}}\{\omega:X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}}\}$$
Dazu zeige ich zwei Inklusionen: Sei zuerst $\omega\in \{T\le t}\$. Ich muss zeigen: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ existier ein $s\in [0,t]\cap \mathbb{Q}$ so dass $X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}$. Sei also $n\in\mathbb{N}$ fixiert. Ich wähle eine Folge von rationalen Zahlen $(q_m)$ so dass $q_m\to T(\omega)\le t$. O.B.d.A $q_m\le t$. Da $X$ stetig ist habe ich $\lim_mX_{q_m}(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$. Daher existiert ein $M$ so dass für alle $m\ge M$ folgendes gilt: $|X_{q_m}(\omega)-X_{T(\omega)}(\omega)|\le \frac{1}{n}$, i.e. $X_{q_m}(\omega)\ge X_{T(\omega)}(\omega)-\frac{1}{n}\ge K-\frac{1}{n}$.
Leider weiss ich nicht wie ich die andere Richtung zeigen soll. Ich weiss ja nach Annahme, dass für jedes $n$ existiert ein $s\in[0,t]\cap\mathbb{Q}$ so dass $X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}$. Wie kann ich denn nun zeigen, dass $T(\omega)\le t$ gilt?
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Hiho,
sieht soweit alles gut aus, die Rückrichtung ist auch gar nicht so schwer.
> Ich weiss ja nach Annahme, dass für jedes [mm]n[/mm] existiert ein [mm]s\in[0,t]\cap\mathbb{Q}[/mm] so dass [mm]X_s(\omega)\ge K-\frac{1}{n}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
1.) Nennen wir das zu jedem n existieren s mal [mm] $s_n$ [/mm] und wir erhalten eine Folge [mm] $(s_n) \in [/mm] [0,t]$.
Was weißt du über Folgen in kompakten Inverallen?
Weiterhin gilt ja:
2.) [mm] $X_{s_n}(\omega) \ge [/mm] K - [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Wende nun auf beiden Seiten den Grenzwert an und folgere daraus das Gewünschte.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 28.02.2014 | | Autor: | hula |
Hallo Gono
Danke für deine Hilfe. Ich glaube ich habs nun. Kannst du mir sagen ob dies so stimmt:
Wir haben also diese Folge [mm] $(s_n)\subset [/mm] [0,t]$. Nun können wir eine konvergente Teilfolge wählen, die wir wieder mit [mm] $(s_n)$ [/mm] bezeichnen, d.h. [mm] $s_n\to [/mm] s$ wobei [mm] $0\le s\le [/mm] t$ gilt und [mm] $X_{s_n}\ge K-\frac{1}{n}$. [/mm] Aufgrund der Stetigkeit haben wir nun also
$$ [mm] X_s=\lim_n X_{s_n}\ge \lim_n K-\frac{1}{n}=K$$
[/mm]
d.h. [mm] $T(\omega)\le s\le [/mm] t$.
Ist das so ok?
Gruss
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Hiho,
> Ist das so ok?
inhaltlich ja, beim Aufschreiben solltest du allerdings das Bezeichnungskuddelmuddel bereinigen.
Gruß,
Gono.
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