Strenge Monotonie zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion sin(x) auf dem Intervall [mm]\left [ 0,\bruch{\pi}{2} \right ][/mm] von [mm]sin(0) = 0[/mm] bis [mm]sin \left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 1[/mm] streng monoton wächst
und dass die Funktion cos(x) auf dem Intervall [mm]\left [ 0,\bruch{\pi}{2} \right ][/mm] von [mm]cos(0) = 1[/mm] bis [mm]cos \left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 0[/mm] streng monoton fällt. |
Eigentlich sollte diese Aufgabe recht einfach sein, wenn ich mir (folgenden Ausschnitt) "meiner" Definition der Monotonie anschaue:
Ist f eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I, so gilt
- f'(x) > 0 für alle x in I => f ist streng monoton steigend
- f'(x) < 0 für alle x in I => f ist streng monoton fallend
[mm]sin(x)' = cos(x)[/mm]
[mm]cos(0) = 1 > 0[/mm]
[mm]cos\left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 0[/mm]
Demnach wäre sin(x) nicht streng monoton steigend, sondern nur monoton steigend.
[mm]cos(x)' = -sin(x)[/mm]
[mm]-sin(0) = 0[/mm]
[mm]-sin\left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = -1 < 0[/mm]
Demnach wäre cos(x) nicht streng monoton fallend, sonder nur monoton fallend.
Was läuft hier schief?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Patrick,
eine Funktion f(x) heißt streng monoton wachsend [bzw. fallend], wenn für alle [mm] a,b\in{I}, [/mm] $a<b$ gilt: $f(a)<f(b)$ [bzw. $f(a)>f(b)$].
Sei [mm] b=\pi/2 [/mm] und [mm] a=\pi/2-\epsilon [/mm] für [mm] \epsilon>0.
[/mm]
[mm] \sin{b}>\sin{a}
[/mm]
[mm] \sin{\pi/2}>\sin{(\pi/2-\epsilon)}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}-\sin{\epsilon}*\cos{\pi/2}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}
[/mm]
[mm] 1>\cos{\epsilon}
[/mm]
Damit hättest du es für den Randpunkt gezeigt.
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Hallo Richie,
danke für Deine Antwort.
> eine Funktion f(x) heißt streng monoton wachsend [bzw.
> fallend], wenn für alle [mm]a,b\in{I},[/mm] [mm]a
> [bzw. [mm]f(a)>f(b)[/mm]].
Okay, das hab ich in der Literatur auch so gefunden.
> Sei [mm]b=\pi/2[/mm] und [mm]a=\pi/2-\epsilon[/mm] für [mm]\epsilon>0.[/mm]
>
> [mm]\sin{b}>\sin{a}[/mm]
>
> [mm]\sin{\pi/2}>\sin{(\pi/2-\epsilon)}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}-\sin{\epsilon}*\cos{\pi/2}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}[/mm]
>
> [mm]1>\cos{\epsilon}[/mm]
>
> Damit hättest du es für den Randpunkt gezeigt.
Ich verstehe.
Also könnte ich analog dazu den zweiten Teil der Aufgabe wie folgt zeigen, oder?
Sei [mm]a = \bruch{\pi}{2} - \varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon > 0[/mm] und [mm]b = \bruch{\pi}{2}[/mm] , dann ist [mm]a < b[/mm] .
zz.: [mm]cos(a) > cos(b)[/mm]
[mm]cos\left ( \bruch{\pi}{2} - \varepsilon \right ) > cos\left ( \bruch{\pi}{2} \right )[/mm]
[mm]cos(\bruch{\pi}{2}-\varepsilon) = \underbrace{cos(\bruch{\pi}{2})*cos(\varepsilon)}_{=0} + sin(\bruch{\pi}{2})*sin(\varepsilon) > 0[/mm]
[mm]1 > 0[/mm]
Mit meiner Definition des Monotoniekriteriums über die Ableitungen komme ich dann hier gar (praktikabel) nicht weiter, oder?
(Korrekterewise muss dann - im Gegensatz zu dem, was ich im Ausgangsbeitrag geschrieben hatte - für alle [mm]x \in (a,b)[/mm] die Bedingung [mm]f'(x) > 0[/mm] gelten, damit die auf [mm](a,b)[/mm] differenzierbare Funktion [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] auf [mm][a,b][/mm] streng monoton wachsend ist. Die Unterscheidung zwischen dem offenen und geschlossenen Intervall ist hier wohl ausschlaggebend.)
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Hi Patrick,
> Hallo Richie,
>
> danke für Deine Antwort.
>
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> > eine Funktion f(x) heißt streng monoton wachsend [bzw.
> > fallend], wenn für alle [mm]a,b\in{I},[/mm] [mm]a
> > [bzw. [mm]f(a)>f(b)[/mm]].
>
> Okay, das hab ich in der Literatur auch so gefunden.
>
>
> > Sei [mm]b=\pi/2[/mm] und [mm]a=\pi/2-\epsilon[/mm] für [mm]\epsilon>0.[/mm]
> >
> > [mm]\sin{b}>\sin{a}[/mm]
> >
> >
> [mm]\sin{\pi/2}>\sin{(\pi/2-\epsilon)}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}-\sin{\epsilon}*\cos{\pi/2}=\sin{\pi/2}*\cos{\epsilon}[/mm]
> >
> > [mm]1>\cos{\epsilon}[/mm]
> >
> > Damit hättest du es für den Randpunkt gezeigt.
>
> Ich verstehe.
>
> Also könnte ich analog dazu den zweiten Teil der Aufgabe
> wie folgt zeigen, oder?
>
> Sei [mm]a = \bruch{\pi}{2} - \varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> und [mm]b = \bruch{\pi}{2}[/mm] , dann ist [mm]a < b[/mm] .
>
> zz.: [mm]cos(a) > cos(b)[/mm]
>
> [mm]cos\left ( \bruch{\pi}{2} - \varepsilon \right ) > cos\left ( \bruch{\pi}{2} \right )[/mm]
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}-\varepsilon) = \underbrace{cos(\bruch{\pi}{2})*cos(\varepsilon)}_{=0} + sin(\bruch{\pi}{2})*sin(\varepsilon) > 0[/mm]
>
> [mm]1 > 0[/mm]
Am Ende steht [mm] \sin\epsilon>0.
[/mm]
Analog könnte man es auch für den anderen Randpunkt zeigen.
>
>
> Mit meiner Definition des Monotoniekriteriums über die
> Ableitungen komme ich dann hier gar (praktikabel) nicht
> weiter, oder?
Das Problem ist, dass für den Sinus [mm] x=\frac{\pi}{2} [/mm] eine Extremstelle ist. Daher muss die Ableitung dort verschwinden. Aber in dem angegebenen Intervall ist der Sinus eben in der Tat streng monoton streng wachsend. Was nach dem [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] kommt ist ja uninteressant.
>
> (Korrekterewise muss dann - im Gegensatz zu dem, was ich im
> Ausgangsbeitrag geschrieben hatte - für alle [mm]x \in (a,b)[/mm]
> die Bedingung [mm]f'(x) > 0[/mm] gelten, damit die auf [mm](a,b)[/mm]
> differenzierbare Funktion [mm]f:[a,b] \to \IR[/mm] auf [mm][a,b][/mm] streng
> monoton wachsend ist. Die Unterscheidung zwischen dem
> offenen und geschlossenen Intervall ist hier wohl
> ausschlaggebend.)
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Hi Richie,
> > zz.: [mm]cos(a) > cos(b)[/mm]
> >
> > [mm]cos\left ( \bruch{\pi}{2} - \varepsilon \right ) > cos\left ( \bruch{\pi}{2} \right )[/mm]
>
> >
> > [mm]cos(\bruch{\pi}{2}-\varepsilon) = \underbrace{cos(\bruch{\pi}{2})*cos(\varepsilon)}_{=0} + sin(\bruch{\pi}{2})*sin(\varepsilon) > 0[/mm]
>
> >
> > [mm]1 > 0[/mm]
> Am Ende steht [mm]\sin\epsilon>0.[/mm]
Klar, das stimmt natürlich. Mein Fehler.
> Analog könnte man es auch für den anderen Randpunkt
> zeigen.
Für den Randpunkt 0 bei cos(x) klappt das so aber nicht:
[mm]a := -\varepsilon[/mm] , [mm]b := 0[/mm]
[mm]a < b[/mm]
Nun müsste ja für streng monoton fallend gelten: [mm]cos(-\varepsilon) > cos(0)[/mm]
Aber: [mm]- cos(\varepsilon) < 1[/mm]
> >
> >
> > Mit meiner Definition des Monotoniekriteriums über die
> > Ableitungen komme ich dann hier gar (praktikabel) nicht
> > weiter, oder?
> Das Problem ist, dass für den Sinus [mm]x=\frac{\pi}{2}[/mm] eine
> Extremstelle ist. Daher muss die Ableitung dort
> verschwinden. Aber in dem angegebenen Intervall ist der
> Sinus eben in der Tat streng monoton streng wachsend. Was
> nach dem [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] kommt ist ja uninteressant.
Danke für die Erklärung!
Viele Grüße
Patrick
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Nochmal Hi Patrick,
> > Analog könnte man es auch für den anderen Randpunkt
> > zeigen.
>
> Für den Randpunkt 0 bei cos(x) klappt das so aber nicht:
Achso?
Wir wollen zeigen, dass [mm] f(x)\cos(x) [/mm] streng monoton fällt und zeigen das für die Stelle x=0:
a:=0, [mm] b:=\epsilon, [/mm] wobei [mm] \epsilon>0 [/mm] sei.
Dann muss nach Definition gelten: f(a)>f(b)
[mm] \cos{0}>\cos{0+\epsilon}=\text{man könnte also wieder Add.theoreme anwenden, brauch tman aber natürlich hier gar nicht.}
[/mm]
[mm] \cos{0}=1>\cos{\epsilon}
[/mm]
das ist ja shcon eine wahre Aussage, da [mm] \epsilon [/mm] sowieso klein sein soll und [mm] \epsilon>0, [/mm] also insbesondere [mm] \epsilon\not=0.
[/mm]
>
> [mm]a := -\varepsilon[/mm] , [mm]b := 0[/mm]
>
> [mm]a < b[/mm]
>
> Nun müsste ja für streng monoton fallend gelten:
> [mm]cos(-\varepsilon) > cos(0)[/mm]
>
> Aber: [mm]- cos(\varepsilon) < 1[/mm]
Bei deinen Überlegungen bist du genau in gespiegelten Intervall.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 So 02.12.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Richie,
> Achso?
> Wir wollen zeigen, dass [mm]f(x)\cos(x)[/mm] streng monoton fällt
> und zeigen das für die Stelle x=0:
> a:=0, [mm]b:=\epsilon,[/mm] wobei [mm]\epsilon>0[/mm] sei.
> Dann muss nach Definition gelten: f(a)>f(b)
> [mm]\cos{0}>\cos{0+\epsilon}=\text{man könnte also wieder Add.theoreme anwenden, brauch tman aber natürlich hier gar nicht.}[/mm]
>
> [mm]\cos{0}=1>\cos{\epsilon}[/mm]
> das ist ja shcon eine wahre Aussage, da [mm]\epsilon[/mm] sowieso
> klein sein soll und [mm]\epsilon>0,[/mm] also insbesondere
> [mm]\epsilon\not=0.[/mm]
oh je - natürlich.
Nochmals besten Dank für Deine Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:58 Mo 03.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion sin(x) auf dem Intervall
> [mm]\left [ 0,\bruch{\pi}{2} \right ][/mm] von [mm]sin(0) = 0[/mm] bis [mm]sin \left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 1[/mm]
> streng monoton wächst
>
> und dass die Funktion cos(x) auf dem Intervall [mm]\left [ 0,\bruch{\pi}{2} \right ][/mm]
> von [mm]cos(0) = 1[/mm] bis [mm]cos \left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 0[/mm]
> streng monoton fällt.
>
>
> Eigentlich sollte diese Aufgabe recht einfach sein, wenn
> ich mir (folgenden Ausschnitt) "meiner" Definition der
> Monotonie anschaue:
>
> Ist f eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I,
> so gilt
> - f'(x) > 0 für alle x in I => f ist streng monoton
> steigend
> - f'(x) < 0 für alle x in I => f ist streng monoton
> fallend
>
>
> [mm]sin(x)' = cos(x)[/mm]
>
> [mm]cos(0) = 1 > 0[/mm]
>
> [mm]cos\left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = 0[/mm]
>
> Demnach wäre sin(x) nicht streng monoton steigend, sondern
> nur monoton steigend.
>
>
> [mm]cos(x)' = -sin(x)[/mm]
>
> [mm]-sin(0) = 0[/mm]
>
> [mm]-sin\left ( \bruch{\pi}{2} \right ) = -1 < 0[/mm]
>
> Demnach wäre cos(x) nicht streng monoton fallend, sonder
> nur monoton fallend.
>
> Was läuft hier schief?
Nichts !
Stell Dir vor, Du hast eine auf [a,b] stetige Funktion f, die auf (a,b) differenzierbar ist. Nehmen wir an, es sei f'(x)>0 für x [mm] \in [/mm] (a,b).
Sind dann u,v [mm] \in [/mm] [a,b] mit u<v, so gibt es nach dem Mittelwertsatz ein w [mm] \in [/mm] (u,v) [mm] \subseteq [/mm] (a,b) mit
f(v)-f(u)=(v-u)f'(w)>0,
also f(v)>f(u).
Du siehst: "auf die Randpunkte a und b kommt es nicht an"
FRED
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> Viele Grüße
> Patrick
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