Strikte Stationarität < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:
[mm] (X_t) [/mm] strikt stationär [mm] \gdw (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] haben für alle k [mm] \in \IN [/mm] und h [mm] \in \IZ [/mm] die gleiche gemeinsame Verteilung. |
Hallo,
ich bräuchte mal die Hilfe bei obiger Aufgabe. Zunächst einmal meine Definition von strikter Stationarität:
Eine Zeitreihe [mm] (X_t)_{t \in \IZ} [/mm] heißt strikt stationär, falls die gemeinsamen Verteilungen von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] und [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k + h}) [/mm] gleich sind für alle k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k, [/mm] h [mm] \in \IZ. [/mm] Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] ist klar, aber wie zeige ich [mm] \Leftarrow [/mm] ? Wäre für Hilfe dankbar. :)
Gruß
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Hiho,
wo ist denn genau dein Problem? Und interessant finde ich, welche Richtung du "klar" findest, denn eigentlich ist [mm] \Rightarrow [/mm] gar nicht so klar, sondern viel eher [mm] \Leftarrow
[/mm]
Zeige doch mal [mm] $\Rightarrow$ [/mm]
Gruß,
Gono
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> Zeige doch mal [mm]\Rightarrow[/mm]
Sei [mm] (X_t) [/mm] strikt stationär und k [mm] \in \IN, [/mm] h [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Setze nun [mm] t_1 [/mm] := 1, [mm] t_2 [/mm] := 2, ..., [mm] t_k [/mm] := k. Dann gilt mit der Definition der strikten Stationarität:
[mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] haben die gleiche gemeinsame Verteilung.
[mm] \Box
[/mm]
Bei der anderen Richtung weiß ich halt nicht, wie ich von dem vermeintlich kleineren ,,Einzelfall" [mm] (X_1, [/mm] ..., [mm] X_k) [/mm] und [mm] (X_{1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{k + h}) [/mm] auf den größeren ,,allgemeinen" Fall mit [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k [/mm] schließen soll.
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Hiho,
edit: das was unten steht, ist natürlich nur dann richtig, wenn du dein "Zeige" als Definition hast und deine Definition als "Zeige:"
Ich hab das falsch herum gelesen, tut mir leid.
Eine Antwort deiner Frage folgt noch.
> > Zeige doch mal [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> Sei [mm](X_t)[/mm] strikt stationär und k [mm]\in \IN,[/mm] h [mm]\in \IZ[/mm] beliebig. Setze nun [mm]t_1[/mm] := 1, [mm]t_2[/mm] := 2, ..., [mm]t_k[/mm] := k.
Moment moment!
[mm] $t_1,t_2,t_k$ [/mm] sind vorgegeben und die kannst du nicht beliebig setzen!
Das ist ja so wie:
Behauptung: Für alle x gilt [mm] $x^2=1$
[/mm]
Beweis: Setze x=1, dann steht da [mm] $1^2 [/mm] = 1 [mm] \box$
[/mm]
Für [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist folgendes zu zeigen:
Sei [mm] $t_1,\ldots,t_k, h\in\IZ$ [/mm] gegeben und [mm] (X_t) [/mm] strikt stationär, dann gilt [mm] $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k}) [/mm] =^D [mm] (X_{t_1+h},\ldots,X_{t_k+h})$
[/mm]
Und das hast du nur für einen Fall gezeigt, nicht aber für alle notwendigen.
Die Rückrichtung funktioniert so, wie du es gezeigt hast. Da kannst du nämlich vom Allgemeinen [mm] $t_1,\ldots,t_k, h\in\IZ$ [/mm] auf den Spezialfall [mm] $1,\ldots,k,h\in\IZ$ [/mm] schließen.
Ergo: [mm] \Leftarrow [/mm] ist die einfache Richtung, [mm] \Rightarrow [/mm] die schwierige.
Ist dir das klar und verständlich?
edit2: Und jetzt die richtige Lösung 
oBdA sei [mm] $t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_k$.
[/mm]
Dann betrachte mal die gemeinsame Veteilung von [mm] $X_{t_1},X_{t_2},\ldots,X_{t_k}$, [/mm] schreibe das als gemeinsame Verteilung von [mm] $X_1,X_2,\ldots,X_{t_k}$ [/mm] und wende deine Voraussetzung an.
Gruß,
Gono
Gruß,
Gono
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Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht verstehe, was dein Problem ist und deine Antwort mich eher verwirrt, als das sie mir hilft.
Die Definition von strikter Stationarität lautet:
Eine Zeitreihe $ [mm] (X_t)_{t \in \IZ} [/mm] $ heißt strikt stationär, falls die gemeinsamen Verteilungen von $ [mm] (X_{t_1}, [/mm] $ ..., $ [mm] X_{t_k}) [/mm] $ und $ [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] $ ..., $ [mm] X_{t_k + h}) [/mm] $ gleich sind für alle k $ [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] t_1, [/mm] $ ..., $ [mm] t_k, [/mm] $ h $ [mm] \in \IZ. [/mm] $
Dies bedeutet, dass die gemeinsame Verteilung von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] zu allen beliebigen Zeitpunkten [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k [/mm] gleich ist mit der gemeinsamen Verteilung, der um h verschobenen Zeitpunkte [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k, [/mm] sprich [mm] (X_{t_1 + h}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k + h}).
[/mm]
Wenn ich also nun eine strikt stationäre Zeitreihe habe, kann ich natürlich [mm] t_1 [/mm] := 1, [mm] t_2 [/mm] := 2, ..., [mm] t_k [/mm] := k setzen für k [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Dann nehme ich noch ein beliebiges h [mm] \in \IZ [/mm] und schon folgt [mm] \Rightarrow.
[/mm]
Und wenn ich voraussetzte, dass [mm] (X_t) [/mm] eine strikt stationäre Zeitreihe ist, kann ich selbstverständlich mit der Macht der Definition, [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_k \in \IZ [/mm] beliebig wählen, da die Definition das ja sogar explizit erlaubt!
Ist das jetzt verständlich?
Sei [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_k [/mm] und A aus der Borel-Sigma-Algebra von [mm] \IR^n. [/mm] Sei [mm] (\Omega, [/mm] F, P) der Wahrscheinlichkeitsraum auf dem die Zufallsvariablen [mm] (X_t) [/mm] definiert sind. Die Verteilung von [mm] (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k}) [/mm] lautet:
[mm] P_{X_{t_1}, ..., X_{t_k}}(A) [/mm] = P [mm] \circ (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k})^{-1} [/mm] (A)
= P [mm] \circ (X_{t_1}, [/mm] ..., [mm] X_{t_k})^{-1} (A_1 [/mm] x ... x [mm] A_k), [/mm] wobei A = [mm] A_1 [/mm] x ... x [mm] A_k [/mm] und [mm] A_i [/mm] aus der Borel-Sigma-Algebra von [mm] \IR [/mm] sind
= [mm] P(X_{t_1}^{-1}(A_1) \cap [/mm] ... [mm] \cap X_{t_k}^{-1}(A_k))
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht weiter.
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Hiho,
> Ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht verstehe, was dein Problem ist und deine Antwort mich eher verwirrt, als das sie mir hilft.
wie meinem Edit schon zu entnehmen war, hatte ich deine Aufgabe genau andersherum gelesen und deswegen war der erste Teil der Antwort natürlich murks.
> Ist das jetzt verständlich?
Ja, passt soweit.
Zu deiner Lösung: Du gehst da viel zu kompliziert ran, das geht einfacher:
Die Verteilung von [mm] $(X_{t_1},\ldots,X_{t_k})$ [/mm] ist eindeutig definiert durch:
[mm] $P(X_{t_1} \le c_{t_1}, \ldots, X_{t_k} \le c_{t_k})$
[/mm]
Jetzt nehmen wir einfach die [mm] X_k [/mm] hinzu, die da noch fehlen:
[mm] $P(X_{t_1} \le c_{t_1}, \ldots, X_{t_k} \le c_{t_k}) [/mm] = [mm] P(X_1 \le \infty,\ldots,X_{t_1} \le c_{t_1},\ldots,X_{t_k} \le c_{t_k})$
[/mm]
Jetzt kannst du deine Voraussetzung anwenden.
Gruß,
Gono
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Hi,
danke für deine Hilfe und sorry, dass ich jetzt erst antworte.
Ich habe mir deinen Hinweis angeschaut, aber ich weiß leider immer noch nicht, wie ich jetzt auf die Lösung komme. Ich weiß nicht, wie ich die [mm] X_{t_1+h},...,X_{t_k + h} [/mm] da rein bringe.
Gruß
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Hiho,
oBdA sei $0 < [mm] t_1 [/mm] < [mm] t_2 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_k$, [/mm] dann gilt:
[mm] $P(X_{t_1} \le c_1, \ldots, X_{t_k} \le c_k) [/mm] = [mm] P(X_1 \le \infty, X_2 \le \infty, \ldots, X_{t_1 - 1} \le \infty, X_{t_1} \le c_1, X_{t_1 + 1} \le \infty, \ldots, X_{t_k - 1} \le \infty, X_{t_k} \le c_k)$
[/mm]
Jetzt hast du also eine Verteilung von [mm] $(X_1,X_2,X_3,\ldots,X_{t_k})$ [/mm] und das ist nach Voraussetzung gleich der Verteilung von [mm] $(X_{1+h},X_{2+h},X_{3+h},\ldots,X_{t_k + h})$
[/mm]
also:
$= [mm] P(X_{1+h} \le \infty, X_{2+h} \le \infty, \ldots, X_{t_1 - 1 + h} \le \infty, X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_1 + 1 + h} \le \infty, \ldots, X_{t_k - 1 + h} \le \infty, X_{t_k + h} \le c_k)$
[/mm]
$= [mm] P(X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_2 + h} \le c_2, \ldots, X_{t_k + h} \le c_k)$
[/mm]
Also insgesamt:
[mm] $P(X_{t_1} \le c_1, \ldots, X_{t_k} \le c_k) [/mm] = [mm] P(X_{t_1 + h} \le c_1, X_{t_2 + h} \le c_2, \ldots, X_{t_k + h} \le c_k)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Vielen Dank für deine Hilfe. Dass ich da nicht selber drauf gekommen bin...
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