Strom i1(t) und i2(t) berechne < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Strom i1(t) und i2(t) |
Hallo liebes Forum,
ich habe ein Problem zu einer Aufgabe, wo man den Strom i1(t) und i2(t) berechnen muss.
Dazu muss man wissen, dass die Schaltung aus zwei Maschen besteht und einem Schalter.
Die erste Masche lautet: U0=I1(p)*(R+pL)-I2(p)*pL
Die zweite Masche lautet: 0=I2(p)*(pL+R+1/pC)-I1(p)*pL
Ich habe dann eine Matrix aufgestellt, dadurch die Hauptdeterminante berechnet und die Determinanten für I1(p) und I2(p).
Bei I1(p) komme ich auf I1(p) = [mm] \bruch{Uo(p)}{p} [/mm] * [mm] \bruch{p^{2}LC+pRC+1}{p^{2}2LCR+p(2RC+L)+R}
[/mm]
Jetzt möchte ich für C = [mm] 10\muF; [/mm] L = 1mH; R = 10 Ohm eingeben.
Das Problem ist aber, dass ich durch die Mikro- und Mili-Einheiten ganz blöde Werte bekomme, und dann keine saubere Partialbruchzerlegung hinbekomme, um wieder zurücktransformieren zu können.
Gibt es einen Trick? Oder liege ich komplett falsch??
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal
Grüße
Manuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 04.06.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Manuel,
willkommen hier im Forum. Da hast Du Dir ja eine recht rechenintensive Aufgabe ausgesucht. Aus Deinen Gleichungen schließe ich mal, dass es sich bei den Strömen um die Kreisströme in den beiden Maschen handelt und dass die Gleichspannungsquelle zum Zeitpunkt t= 0 angeschaltet wird.
Wenn dies stimmt, dann erhält man folgendes Ersatzschaltbild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine erste Gleichung berücksichtigt allerdings nicht das Einschalten der Quelle und im Laplace-Bereich müsste da stehen entweder [mm] U_0 (p) [/mm] oder [mm] \bruch{U_0}{p} [/mm]. Später hast Du dies dann berücksichtigt, wie man an Deinem ersten Faktor im Laplace-Bereich sieht, der im Ausdruck für [mm] I_1 (p) [/mm] auftaucht.
Ich schreibe beide Gleichungen nochmal hier hin:
[mm] \bruch{U_0}{p} = I_1 (p) \cdot (R + pL) - I_2 (p) \cdot pL [/mm] und dann
[mm] 0 = I_2 (p) \cdot (pL + R + \bruch{1}{pC}) - I_1 (p) \cdot pL [/mm]
Diese zweite Gleichung mal nach I1 umgestellt ergibt
[mm] I_1 (p) \cdot pL = I_2(p) \cdot (pL+R+\bruch{1}{pC}) [/mm] und dann habe ich aus der ersten Gleichung den Ausdruck für I2 hingeschrieben:
[mm] I_2 (p) \cdot pL = I_1(p)\cdot (R + pL) - \bruch{U_0}{p} [/mm]
Diesen Ausdruck habe ich in die erste Gleichung eingesetzt und es begann eine wüste Umformerei mit Doppelbrüchen über fast eine DIN A4-Seite und am Ende stand da
[mm] I_1(p) \cdot (\bruch{2p^2 LCR + pR^2C + R + pL}{p^2 LC + p RC +1}) = \bruch{U_0}{p} [/mm]
Da ist, wenn Du das mit Deinem Bruch vergleichst ein kleiner Unterschied im Nenner.
Bei Dir taucht ein Term [mm] 2 p RC [/mm] auf, bei mir [mm] p R^2 C [/mm]. Wenn Du die Dimension dieses Terms Dir mal anschaust, so hat mein Term wirklich die Dimension eines Widerstandes, wie die anderen Terme auch, bei Deinem Ausdruck ist der Term jedoch dimensionslos, was nicht sein kann.
Ansonsten würde ich Dir empfehlen, erst die Rücktransformation mit Hilfe der Polynomdivision zu machen und dann die Werte einzusetzen, Du verlierst sonst extrem leicht die Kontrolle über die Richtigkeit der Rücktransformation.
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Infinit,
erst mal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast und dir die Aufgabe angeschaut hast.
Du hast recht, ich habe da einen kleinen Fehler im Nenner gemacht.
Ich schreibe die Gleichung immer folgendermaßen auf:
I1(p)= [mm] \bruch{Uo(p)}{p} [/mm] * [mm] \bruch{p^{2}LC+pRC+1}{p^{2}2LCR+p(R^2C+L)+R}
[/mm]
Und normalerweise würde ich ja jetzt die Werte einsetzen aber Du meintest ja ich solle das am Schluss machen.
Ok. Aber wie soll ich denn so eine Polynomdivision durchführen um die Nullstellen zu bekommen? Die vielen Buchstaben verwirren mich total. Kann ich da nicht irgendwas substituieren? Oder kann ich einfach mit
[mm] \bruch{p^{2}+p+1}{2p^{2}+p+1}
[/mm]
weitermachen?
Mir fehlt da die Idee.
Hoffe Du kannst mir weiterhelfen.
Danke schon mal
Grüße
Manuel
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Hallo Forum,
Kann mir jemand weiterhelfen bei der vorangegangenen Frage? Das wäre seht nett.
Vielen Dank
Manuel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Fr 05.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht verschiedene Ausdrücke durch 1 ersetzen
aber [mm] (ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) [/mm] ist ja nicht so grässlich
einen der Faktoren a oder d kannst du auch noch ausklammern.
(Musst du die Aufgabe mit Laplace rechnen, als Physiker würde ich die Ströme direkt ausrechnen, weil die Schaltung ja relativ einfach ist.
Gruß ledum
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Hallo,
danke für Deine Antwort.
Ich versuche schon den ganzen Abend auf eine Lösung zu kommen, aber es gelingt mir einfach nicht.
Ich habe es genau so versucht zu substituieren mit a, b, c... und habe dann damit eine Partialbruchzerlegung gemacht. Spätestens beim Zurücktransformieren scheitere ich allerdings beim Einsetzen der Werte. Es scheint mir auf diesem Wege mittlerweile sehr umständlich.
Du sagtest, Du hättest einen einfacheren Weg gewählt.
Bitte könntest du den mal darstellen, da ich sonst echt nicht mehr weiter weiß.
Vielen Dank schon mal
Grüße
Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Sa 06.06.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Manuel,
zeige uns doch mal Deine Rechnung zur Polynomdivision, dann komen wir wohl gemeinsam weiter. Wir haben bisher keinen einzigen Rechenweg von Dir mal gesehen, da fällt das Helfen schwer.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
Du hast Recht. Ich werde mal vorrechnen:
Fangen wir an bei:
I1(p)= [mm] \bruch{U0}{p}*\bruch{p^{2}LC+pRC+1}{p^{2}2LCR+p(R^2C+L)+R}
[/mm]
wenn ich das substituiere bekomme ich:
I1(p) = [mm] \bruch{U}{p}*\bruch{p^{2}a+pb+1}{p^{2}d+pe+f}
[/mm]
Dann möchte ich die Nullstellen bestimmen und sage:
p1 = 0 ; p2/3 = wäre mit pq-Formel zu lösen, unter der Wurzel steht jedoch was Negatives, sodass ich eine komplexe Nullstelle bekomme.
Deswegen mache ich meine Partialbruchzerlegung so:
I1(p) = [mm] U0*(\bruch{A}{p}+\bruch{Bp+C}{p^{2}d+pe+f})
[/mm]
Nach Koeffizientenvergleich bekomme ich für:
A = [mm] \bruch{1}{f}
[/mm]
B = [mm] a-\bruch{d}{f}
[/mm]
C = [mm] b-\bruch{e}{f}
[/mm]
Somit ist es:
I1(p)= [mm] U0*\bruch{1}{f}*\bruch{1}{p}+( \bruch{(a-\bruch{d}{f})p+(b-\bruch{e}{f})}{p^{2}d+pe+f})
[/mm]
Zurücksubstituiert und zusammengefasst:
[mm] I1(p)=\bruch{U0}{R}*\bruch{1}{p}-LC*(\bruch{p-\bruch{1}{RC}}{p^{2}d+pe+f})
[/mm]
Ich muss jetzt zurücktransformieren, damit da steht:
i1(t)= 1/2 -..............da weiß ich nicht weiter
Ich hoffe, es ist verständlich, wo mein Problem liegt und Du kannst mir weiterhelfen
Vielen Dank schon mal
Viele Grüße
Manuel
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Sorry ich meinte zurücksubstituiert und zusammengefasst heisst es:
[mm] I1(p)=U0*(\bruch{1}{R}*\bruch{1}{p}-LC*(\bruch{p-\bruch{1}{RC}}{p^{2}2LCR+p(R^{2}C+L)+R}) [/mm] )
Und jetzt kommt die Rücktransformtation, welche mir Probleme bereitet.
Entweder ich setzte jetzt schon die Werte ein und es wird total unübersichtlich und erschwert die Rücktransformation oder ich warte damit noch und versuche die Rücktransformation so abzuschließen und dann die Werte einzusetzen.
Bei letzterer Möglichkeit fällt mir aber keine binomische Formel ein, die ich beim Nenner benötige, um die Transformation nach dem Schema [mm] \bruch{b}{(p+a)^{2}+b^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{p+a}{(p+a)^{2}+b^{2}} [/mm] abzuschließen .
Grüße
Manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 So 07.06.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Manuel,
jetzt verstehe ich Deine Problematik besser. Meine pragmatische Lösung als Nachrichtentechniker ist es, hier in Tabellen nach der Rücktransformation zu schauen. Von der Schaltung her tippe ich auf gedämpfte Sinus / Cosinusschwingungen.
Du hast in Deinen Ausdrücken immer was Quadratisches im Nenner, im Zähler ist einmal eine Konstante, bei Deinem zweiten Ausdruck eine Summe, die Du natürlich ohne Probleme in zwei getrennten Brüchen schreiben darfst.
Für den ersten Typus von Bruch gibt mir meine Tabelle aus dem Jahre 1981 die folgende Korrespondenz:
Zu
[mm] \bruch{1}{s^2 + 2\delta s + \omega_0^2} [/mm] gehört
[mm] \bruch{1}{\omega_e} \cdot e^{- \delta t} \sin (\omega_e t) [/mm]
mit
[mm] \omega_e= \wurzel{\omega_0^2 - \delta^2} [/mm]
Taucht nun die Laplacetransformierte im Zähler auf, wie bei Deinem zweiten Term, so kannst Du Dir den Differentiationssatz zunutze machen, denn für die erste Ableitung einer Zeitfunktion f(t) gilt:
[mm] f^{'}(t) [/mm] korrespondiert zu
[mm] s \cdot F(s) [/mm]
Ich gebe zu, dass ist eine ganz schöne Rechnerei, aber vom Typus der Schaltung her, zwei Energiespeicher und Ohmsche Widerstände, sollten da gedämpfte Schwingungen auftreten.
Viele Grüße,
Infinit
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