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| Aufgabe | Betrachten Sie nachstehendes Sturm-Liouville Eigenwertproblem und bestimmen sie die Eigenwerte sowieo die Eigenfunktionen
$-(xu')' = [mm] \frac{\lambda}{x}u [/mm] $ mit $u(1)=0, u(e)=0$
Hinweis: Zeigen Sie, dass alle EW positiv sind und bedenken Sie, dass es sich um eine Eulersche - DGL. handelt. |
Hallo,
Es wäre super, wenn da jemand drüberschauen könnte.
Wir multiplizieren vorerst beide Seiten mit $u$ und intergrieren über das Intervall $[1,e]$.
$(-xu')' = [mm] \frac{\lambda}{x}u$,
[/mm]
$u(-xu')' = [mm] \frac{\lambda}{x}u^2$
[/mm]
Wir intergriegen einmal partiell auf [0,e] und erhalten
[mm] $\integral_{0}^{e}{u(-xu')' dx} [/mm] = -xu'u [mm] |_{0}^{e} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{e} [/mm] xu'u'dx $ , dies soll nun aber gleich [mm] $\lambda \integral_{0}^{e} \frac{1}{x}u^2dx$ [/mm] sein, also müssen alle [mm] $\lambda [/mm] > 0$ sein, da aufgrund der Bedingungen $u(1)=0, u(e)=0$ , der Ausruck $-xu'u [mm] |_{0}^{e}$ [/mm] = 0 ist und [mm] $\integral_{0}^{e} [/mm] xu'u'dx$ sicherlich immer positiv ist.
Also ist gezeigt, dass alle [mm] $\lambda [/mm] >0$ sind.
Da es sich um eine Eulersche DGL handelt wählen wir:
$u(x) = [mm] x^{a}$
[/mm]
$u'(x) = [mm] ax^{a-1}$
[/mm]
$u''(x) = [mm] a(a-1)x^{a-2}$
[/mm]
Einsetzen liefert:
[mm] $a_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] i [mm] \cdot \sqrt{\lambda}$ [/mm] , an dieser Stelle könnten wir [mm] $\lambda [/mm] = [mm] z^2$ [/mm] setzen und erhalten somit
$a = [mm] \pm i\cdot [/mm] z $
Unsere Lösungen sind damit
[mm] $A\cdot x^{iz} [/mm] + B [mm] \cdot x^{-iz}$
[/mm]
So nun setzen wir in unsere Randbedingungen ein
[mm] $u_{z} [/mm] (0) = 0 $ , also A = -B , da dies Konstanten sind fassen wir das ganze zu , sagen wir $C [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] zusammen.
[mm] $u_{z}(e) [/mm] = 0$, also $C [mm] \cdot (e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz}) [/mm] = $ , offensichtlich ist dies genau dort 0 wo der Sinus 0 ist, also erhalten wir
[mm] $z_{n} [/mm] = n [mm] \cdot \pi [/mm] $ und damit
[mm] $\lambda_{n} [/mm] = [mm] n^2 \pi^2$ [/mm]
also erhalten wir für die Eigenfunktionen
$u(x) = [mm] x^{i \pi n} [/mm] - [mm] x^{-i \pi n}$
[/mm]
Beste Grüße und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Betrachten Sie nachstehendes Sturm-Liouville
> Eigenwertproblem und bestimmen sie die Eigenwerte sowieo
> die Eigenfunktionen
>
> [mm]-(xu')' = \frac{\lambda}{x}u[/mm] mit [mm]u(1)=0, u(e)=0[/mm]
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> Hinweis: Zeigen Sie, dass alle EW positiv sind und bedenken
> Sie, dass es sich um eine Eulersche - DGL. handelt.
> Hallo,
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> Es wäre super, wenn da jemand drüberschauen könnte.
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> Wir multiplizieren vorerst beide Seiten mit [mm]u[/mm] und
> intergrieren über das Intervall [mm][1,e][/mm].
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> [mm](-xu')' = \frac{\lambda}{x}u[/mm],
> [mm]u(-xu')' = \frac{\lambda}{x}u^2[/mm]
>
> Wir intergriegen einmal partiell auf [0,e] und erhalten
>
> [mm]\integral_{0}^{e}{u(-xu')' dx} = -xu'u |_{0}^{e} + \integral_{0}^{e} xu'u'dx[/mm]
> , dies soll nun aber gleich [mm]\lambda \integral_{0}^{e} \frac{1}{x}u^2dx[/mm]
> sein, also müssen alle [mm]\lambda > 0[/mm] sein, da aufgrund der
> Bedingungen [mm]u(1)=0, u(e)=0[/mm] , der Ausruck [mm]-xu'u |_{0}^{e}[/mm] =
> 0 ist und [mm]\integral_{0}^{e} xu'u'dx[/mm] sicherlich immer
> positiv ist.
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> Also ist gezeigt, dass alle [mm]\lambda >0[/mm] sind.
>
> Da es sich um eine Eulersche DGL handelt wählen wir:
>
> [mm]u(x) = x^{a}[/mm]
> [mm]u'(x) = ax^{a-1}[/mm]
> [mm]u''(x) = a(a-1)x^{a-2}[/mm]
>
> Einsetzen liefert:
>
> [mm]a_{1,2} = \pm i \cdot \sqrt{\lambda}[/mm] , an dieser Stelle
> könnten wir [mm]\lambda = z^2[/mm] setzen und erhalten somit
>
> [mm]a = \pm i\cdot z[/mm]
>
> Unsere Lösungen sind damit
>
> [mm]A\cdot x^{iz} + B \cdot x^{-iz}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So nun setzen wir in unsere Randbedingungen ein
>
> [mm]u_{z} (0) = 0[/mm] , also A = -B , da dies Konstanten sind
> fassen wir das ganze zu , sagen wir [mm]C \in \mathbb{R}[/mm]
> zusammen.
> [mm]u_{z}(e) = 0[/mm], also [mm]C \cdot (e^{iz} - e^{-iz}) =[/mm] ,
> offensichtlich ist dies genau dort 0 wo der Sinus 0 ist,
> also erhalten wir
> [mm]z_{n} = n \cdot \pi[/mm] und damit
> [mm]\lambda_{n} = n^2 \pi^2[/mm]
>
> also erhalten wir für die Eigenfunktionen
>
> [mm]u(x) = x^{i \pi n} - x^{-i \pi n}[/mm]
>
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> Beste Grüße und Dank
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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