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Hallo,
ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss:
Ich soll das folgende Integral mit Substitution lösen:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{\pi}}{x*cos(x^2+(\pi/2)) dx}
[/mm]
Meine Idee:
Ich glaub ich muss [mm] (x^2+(\pi/2) [/mm] substituieren, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 12.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
> ich weiß nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss:
>
> Ich soll das folgende Integral mit Substitution lösen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{\pi}}{x*cos(x^2+(\pi/2)) dx}[/mm]
>
> Meine Idee:
>
> Ich glaub ich muss [mm](x^2+(\pi/2)[/mm] substituieren, oder?
Das ist eine Möglichkeit, bedenke, dass die Ableitung deiner Substitution 2x ist.
Also füge nochmal die 2 hinzu
[mm] \int x\cdot\cos\left(x^{2}+\frac{\pi}{2}\right)dx
[/mm]
[mm] =\int \frac{1}{2}\cdot2x\cdot\cos\left(x^{2}+\frac{\pi}{2}\right)dx
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\int2x\cdot\cos\left(x^{2}+\frac{\pi}{2}\right)dx
[/mm]
Jetzt substituiere mal, wie du vorgeschlagen hast, und beachte die Kettenregel der Ableitung, denn du bekommst im Integral die Form [mm] $\int u(x)\cdot [/mm] u'(x)dx$
Marius
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Und woher kommt die 1/2 ganz vorne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 12.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Und woher kommt die 1/2 ganz vorne?
Du brauchst für die Innere Ableitung noch den Faktor 2.
Um diesen zu bekommen, multipliziere den Integranden mit [mm] \frac{1}{2}\cdot1 [/mm] also quasi mit einer "nahrhaften Eins".
Den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] brauchst du aber zur Berechnung des Integrales im inneren nicht mehr, daher kannst du diesen als konstanten Faktor vor das Integral ziehen.
Diesen Trick, sich etwas passendes hinzuzuholen, solltest du dir merken.
In der Schule taucht dieser Trick zum ersten mal bei der quadratischen Ergänzung auf, dann aber in einer "Nulladdition".
Marius
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Die Ableitung der inneren Klammer ist 2x und warum der Faktor 2 dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 12.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Die Ableitung der inneren Klammer ist 2x und warum der
> Faktor 2 dann?
Weil du erst mit diesem Faktor 2 die Form [mm] $\int u(x)\cdot [/mm] u'(x)dx$ hast.
Ich sehe aber gerade, dass es auch ohne diesen Weg geht.
[mm] \int x\cdot\cos\left(x^{2}+\frac{\pi}{2}\right)dx
[/mm]
Mit [mm] u=x^{2}+\frac{\pi}{2}, [/mm] also [mm] \frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2x} [/mm] ergibt sich
[mm] =\int x\cdot\cos\left(u\right)\frac{du}{2x}
[/mm]
[mm] =\int \frac{1}{2}\cdot\cos\left(u\right)du
[/mm]
Nun wieder du.
Marius
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Ich verstehe jetzt was du gemacht hast du hast die Klammer integriert [mm] (x^2+(\pi/2)) [/mm] und somit 1/2 * 2x [mm] (x^2+(\pi/2) [/mm] bekommen aber warum hast du dann nochmal einen Integralzeichen geschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 12.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Ich verstehe jetzt was du gemacht hast
Das glaube ich leider nicht
> du hast die Klammer
> integriert
Nein
> [mm](x^2+(\pi/2))[/mm] und somit 1/2 * 2x [mm](x^2+(\pi/2)[/mm]
> bekommen aber warum hast du dann nochmal einen
> Integralzeichen geschrieben?
Weil ich noch nirgendwo integriert habe.
Schau dich unbedingt mal bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net um., vor allem im Kapitel 5.5.5
Marius
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