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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1-sin(x)}{[1+cos(x)]sin} dx} [/mm] soll mit der Substitution t=tan [mm] (\bruch{x}{2}) [/mm] gelöst werden |
Aus t=tan [mm] (\bruch{x}{2}) [/mm] folgt [mm] dt=\bruch{dx}{1+cos(x)}
[/mm]
damit habe ich [mm] \integral {\bruch{1-sin(x)}{sin(x)} dt} [/mm]
aber wie geht es dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 14.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \integral{\bruch{1-sin(x)}{sin(x)}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{sin(x)}{sin(x)}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{sin(x)}-\integral1dx}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 14.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Ich glaube das ist dt und nicht dx. kann aber auch nicht weiterhelfen
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Ja genau. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
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Ich habe das Integral verlegt und bis auf:
[mm] \integral{\bruch{1}{sin(x)}dt}- \integral{1dt} [/mm] runtergerechnet aber dann komme ich mit dem x wegen dt nicht mehr weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Do 14.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
du hast das dt beim ersten integral falsch! Es muss dx heißen!
Das hintere Integral ist einfach x.
Bei dem Vorderen Integral gibt es mehrere Wege es zu lösen ich geb dir mal einen Hinweis für eine der Lösungen!
[mm] \bruch{1}{\sin x}=\bruch{1}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\sin x)^2+(\cos x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2}}=\bruch{1}{2}*[\bruch{(\sin x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2}}+\bruch{(\cos x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2}}
[/mm]
Jetzt kann man kürzen und man sieht den Tangens und den Kotangens in der Gleichung und diese haben ja bekanntlich ln [mm] (\cos [/mm] x) und ln [mm] (\sin [/mm] x) als Stammfunktionen.
P.S. Ich hab gestern, irgendwo genau diese Aufgabe gestellt (just for fun), du kannst da evtl mal nachschauen vielleicht hat jemand noch einen Weg gepostet. [der Eintrag heiß Das integral über [mm] 1/\cos [/mm] x ]
Ich hoffe du hast alles verstehen können.
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Ich weiß nicht. Kann das nicht lesen. Aber ich bin mir eigentlich sicher das da dt hin muss. Ich habe doch dx durch (1+cos(x))dt substituiert und dann gekürzt
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Hallo torstenkrause,
> Ich weiß nicht. Kann das nicht lesen. Aber ich bin mir
> eigentlich sicher das da dt hin muss. Ich habe doch dx
> durch (1+cos(x))dt substituiert und dann gekürzt
Gogeta meinte:
[mm]\bruch{1}{\sin x}={\bruch{1}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2})}
={\bruch{(\sin x)^2+(\cos x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos \left ( \bruch{x}{2}\right )}}
=\bruch{1}{2}*\left ( \bruch{(\sin x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2}}+\bruch{(\cos x)^2}{2*\sin (\bruch{x}{2})*\cos (\bruch{x}{2}} \right )[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo torstenkrause,
> Ja genau. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
lies Dir doch bitte mal diesen Thread Generalsubstitution durch.
Gruß
MathePower
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Ich lese das kann das ganze aber nicht auf meine Aufgabe ummünzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 29.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Leider muss man für alle diese "trickreichen" aufgaben mit der Substitution t=tanx/2 mehrere Tricks beherschen:
1. (tanx)'=1+tan^2x das ist eh die bessere Form der Ableitung von tan.
damit wird dein t=tanx/2 => dt=(1+tan^2x/2)*1/2*dx => [mm] dx=2dt/(1+t^2)
[/mm]
2. Die Umrechnung von sinx und cosx in tanx/2 die holst du dir aus dem link von mathepower.
Leider gehts nur so umständlich!(aber manche Profs ham Freude an der Sorte Integral  )
Gruss leduart
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dt=(1+tan^2x/2)*1/2*dx => [mm] dx=\bruch{2dt}{(1+t²)} [/mm] Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt? Ich habe insgesamt 2 Integrale die ich mit dieser Sub. lösen soll, kann leider keine:
[mm] \integral \bruch{1-sinx}{(1+cosx)*sinx}*dx
[/mm]
[mm] \integral \bruch{dx}{1+sinx-cosx}
[/mm]
ich schreibe übermorgen die klausur und muss das unbedingt können.
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
[mm] dt=\bruch{1}{2}(1+\left(\tan{\bruch{x}{2}}\right)^{2}) \gdw dx=\bruch{2dt}{1+\left(\tan{\bruch{x}{2}}\right)^{2}} \gdw dx=\bruch{2dt}{1+t²} [/mm] - zuerst äquivalenzumformung, dann resubstitution
nach den integralen guck ich jetzt mal...^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
soooo.. also ich werde benutzen: [mm] sin(x)=\bruch{2t}{1+t²} [/mm] und [mm] cos(x)=\bruch{1-t²}{1+t²} [/mm] und natürlich [mm] dx=\bruch{2dt}{1+t²} [/mm] (folgt alles aus der Substitution [mm] t=\tan{\bruch{x}{2}})
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1-\sin{x}}{(1+\cos{x})\sin{x}}dx}=\integral{\bruch{1-\bruch{2t}{1+t²}}{(1+\bruch{1-t²}{1+t²})\bruch{2t}{1+t²}}dx}=\integral{\bruch{1-\bruch{2t}{1+t²}}{(1+\bruch{1-t²}{1+t²})\bruch{2t}{1+t²}}\bruch{2}{1+t²}dt}=\integral{\bruch{1-\bruch{2t}{1+t²}}{(1+\bruch{1-t²}{1+t²})t}dt}=\integral{\bruch{1-\bruch{2t}{1+t²}}{(1+\bruch{1-t²}{1+t²})t}dt}=\integral{\bruch{1+t²-2t}{(1+t²+1-t²)t}dt}=\integral{\bruch{t²-2t+1}{2t}dt}=\integral{\bruch{1}{2}t-1+\bruch{1}{2t}dt}=\bruch{1}{4}t²-t+\bruch{1}{2}\ln{t}
[/mm]
und dann halt resubstituieren...
die zweite auch noch?^^
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
ja bitte 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 11.03.2008 | | Autor: | maddhe |
[mm] \integral{\bruch{1}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx}=\integral{\bruch{1}{1+\bruch{2t}{1+t²}-\bruch{1-t²}{1+t²}}\bruch{2}{1+t²}dt}=\integral{\bruch{1+t²}{1+t²+2t-1+t²}\bruch{2}{1+t²}dt}=\integral{\bruch{2}{2t²+2t}dt}=\integral{\bruch{1}{t²+t}dt}=\integral{\bruch{1}{t(t+1)}dt}=\integral{\bruch{1}{t}-\bruch{1}{t+1}dt}=\ln{(t)}-\ln{(t+1)}
[/mm]
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