Substitution Diskrete Integ. ! < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 22.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe ein Problem. Es geht ursprünglich um Diskrete Fouriertransformation. Nun kommt ja anstelle eines Integrals ja eine Summe...
Wie sieht das aus wenn ich Variablensubsitution mit diskreten Werten mache?!
1. Ist das überhaupt erlaubt und/oder macht es Sinn?
2. Wie macht mans richtig?
Ein Beispiel für die Fouriertransformation von nicht-diskreten Funktionen :
Zeige [mm] F[x(\bruch{t}{2})] [/mm] = 2*X(2*jw), wobei X(jw) die Fouriertransformierte von x(t) ist, F(x(t)) = X(jw).
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{x(\bruch{t}{2})*e^{-jwt} dt}
[/mm]
Substitution: s = [mm] \bruch{t}{2} [/mm] ---> [mm] \bruch{ds}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ---> dt = 2*ds
... = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{x(s)*e^{-jw*2*s} 2*ds}
[/mm]
Jetzt das analogon für diskrete. Meine Frage: wird da ebenfalls die Ableitung der infinitesimalen Dinger gebildet? Es gibt dort ja eigentlich keine. Meine Vermutung ist dass eben bei diskreten Variablen keine ableitung der Infinitesimalen Dinger berücksichtigt wird. Nur kann ich mir das nicht ganz erklären.
[mm] F[x(\bruch{n}{2})] [/mm] = [mm] \summe_{n = -\infty}^{+\infty} x(\bruch{n}{2})*e^{-j*\theta*n}
[/mm]
Substitution: k = [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
... = [mm] \summe_{k = -\infty}^{+\infty} x(k)*e^{-j*\theta*2*k}
[/mm]
In meiner MuLö ist eben das wenn ich das richtig sehe auch so gemacht (ist in einer komplizierteren Aufgabe eingebettet darum kann ich nicht sagen ob ich sonst was nicht berücksichtigt habe)
Gruss&Dank
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> Hallo,
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> Ich habe ein Problem. Es geht ursprünglich um Diskrete
> Fouriertransformation. Nun kommt ja anstelle eines
> Integrals ja eine Summe...
> Wie sieht das aus wenn ich Variablensubsitution mit
> diskreten Werten mache?!
> 1. Ist das überhaupt erlaubt und/oder macht es Sinn?
> 2. Wie macht mans richtig?
>
> Ein Beispiel für die Fouriertransformation von
> nicht-diskreten Funktionen :
> Zeige [mm]F[x(\bruch{t}{2})][/mm] = 2*X(2*jw), wobei X(jw) die
> Fouriertransformierte von x(t) ist, F(x(t)) = X(jw).
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> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{x(\bruch{t}{2})*e^{-jwt} dt}[/mm]
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> Substitution: s = [mm]\bruch{t}{2}[/mm] ---> [mm]\bruch{ds}{dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ---> dt = 2*ds
> ... = [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{x(s)*e^{-jw*2*s} 2*ds}[/mm]
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> Jetzt das analogon für diskrete. Meine Frage: wird da
> ebenfalls die Ableitung der infinitesimalen Dinger
> gebildet? Es gibt dort ja eigentlich keine. Meine Vermutung
> ist dass eben bei diskreten Variablen keine ableitung der
> Infinitesimalen Dinger berücksichtigt wird. Nur kann ich
> mir das nicht ganz erklären.
ne wozu.. du samplest das signal ja in einer bestimmten frequenz [mm] f_a [/mm] ab. "Jedes Signal x[nT] bzw x[n] kann als Überlagerung von Einheitstößen dargestellt werden." und jeder dieser diracs wird dann direkt transformiert. die einzelne zeitverschiebung steckt in dem e-term
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> [mm]F[x(\bruch{n}{2})][/mm] = [mm]\summe_{n = -\infty}^{+\infty} x(\bruch{n}{2})*e^{-j*\theta*n}[/mm]
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> Substitution: k = [mm]\bruch{n}{2}[/mm]
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> ... = [mm]\summe_{n = -\infty}^{+\infty} x(k)*e^{-j*\theta*2*n}[/mm]
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> In meiner MuLö ist eben das wenn ich das richtig sehe auch
> so gemacht (ist in einer komplizierteren Aufgabe
> eingebettet darum kann ich nicht sagen ob ich sonst was
> nicht berücksichtigt habe)
naja, wenn du substituierst, dann auch alles.. du kannst nich den alten index und den neuen in einer summe verwenden
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> Gruss&Dank
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gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Sa 22.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke.
Das mit n-k war ein Schreibfehler - jetzt korrigiert.
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Sa 22.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habe nochmals nachgedacht:
Der Tieferegrund ist, dass man bei der diskreten Transformation für sagt dass
Für n gerade: x(k) = [mm] x(\bruch{n}{2}) [/mm]
Aber(!) für n ungerade x(k) = 0
Wäre es nicht so müsste man das Differential berücksichtigen da man Doppelt soviele Werte aufsummiert.
Gruss
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