Substitution bei Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mi 29.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | [mm] \int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
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Guten Abend, ich weiß, dass man dieses Integral auch einfach ohne Substitution lösen kann, ich will es aber trotzdem mit der Substitution machen.
Substitution:
[mm]u = (x+3)^2[/mm]
[mm] \frac{du}{dx} = 2(x+3) [/mm]
[mm] \int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}* \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln(t) = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln((x+3)^2)[/mm]
Nun sieht das ganz anders aus als die Stammfunktion, die man "zu Fuß" bekommt:
[mm] \int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = - \frac{1}{(x+3)}[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Mopsi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Do 30.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
>
>
>
> Guten Abend, ich weiß, dass man dieses Integral auch
> einfach ohne Substitution lösen kann, ich will es aber
> trotzdem mit der Substitution machen.
>
> Substitution:
>
> [mm]u = (x+3)^2[/mm]
>
> [mm]\frac{du}{dx} = 2(x+3)[/mm]
>
>
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}* \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} =...[/mm]
es ist [mm] $x=x(t)\,,$ [/mm] das müsstest Du geeignet ersetzen und kannst nicht
einfach die [mm] $t\,$-Abhängigkeit [/mm] "wegschmeißen" - anders gesagt: Du kannst
nicht $1/(x+3)$ vor das Integral ziehen, weil [mm] $x\,$ [/mm] abhängig von der Integrationsvariablen
ist, und eben KEINE Konstante ist!
Und wo kommt eigentlich das $1/t$ her?
Das ist doch klar!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
OH!
Das ist mir ganz entfallen.
Vielen Dank für den Hinweis!
Muss ich denn das [mm] \frac{1}{(x+3)}[/mm] irgendwie in etwas mit t umwandeln?
Also auch wenn ich es nicht vor das Integral ziehe, sondern drin lasse kann ich nicht einfach integrieren?
Ich MUSS vorher das x durch t ausdrücken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Do 30.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> OH!
> Das ist mir ganz entfallen.
> Vielen Dank für den Hinweis!
>
> Muss ich denn das [mm]\frac{1}{(x+3)}[/mm] irgendwie in etwas mit t
> umwandeln?
ja, schau' mal in die Antwort unten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
>
>
>
> Guten Abend, ich weiß, dass man dieses Integral auch
> einfach ohne Substitution lösen kann, ich will es aber
> trotzdem mit der Substitution machen.
>
> Substitution:
>
> [mm]u = (x+3)^2[/mm]
einfacher wäre es mit $v(x)=x+3$.
>
> [mm]\frac{du}{dx} = 2(x+3)[/mm]
>
>
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}* \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln(t) = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln((x+3)^2)[/mm]
Was in aller Welt treibst Du da? Hast Du schonmal erfolgreich eine Substitution durchgeführt? Die Idee der Subsitution besteht u.a. darin, dass man eine Variable (in diesem Fall x) durch eine andere (u in diesem Fall) ersetzt. Du hast weder x eliminiert, noch Deine eigentliche Substitution (u) eingeführt. Stattdessen bleibt da ein x drin und es fällt ein neue Variable t vom Himmel. Kannst Du mir das erklären?
>
> Nun sieht das ganz anders aus als die Stammfunktion, die
> man "zu Fuß" bekommt:
>
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = - \frac{1}{(x+3)}[/mm]
>
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Die Frage ist wohl eher: Was hast Du richtig gemacht?
>
> Mopsi
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Was in aller Welt treibst Du da?
Vertausch das u durch ein t und die Welt ist wieder in Ordnung.
Habe ausversehen oben gesagt, dass ich den Term durch u substituiere und hab dann einfach die Substitution mit dem Buchstaben t anstatt u gemacht. Sieht man das denn nicht? :D
Neuer Versuch:
> > [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
Substitution:
[mm]t = (x+3)^2[/mm]
[mm]\frac{dt}{dx} = 2(x+3)[/mm]
[mm]dx = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt[/mm]
[mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}*\frac{1}{(x+3)}* \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln(t) = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln((x+3)^2)[/mm]
Mopsi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
>
> > Was in aller Welt treibst Du da?
>
> Vertausch das u durch ein t und die Welt ist wieder in
> Ordnung.
> Habe ausversehen oben gesagt, dass ich den Term durch u
> substituiere und hab dann einfach die Substitution mit dem
> Buchstaben t anstatt u gemacht. Sieht man das denn nicht?
> :D
Nein, das habe ich in der Tat nicht gesehen. Aber Du hast trotzdem vergessen das x zu eliminieren.
>
> Neuer Versuch:
>
> > > [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
>
>
> Substitution:
>
> [mm]t = (x+3)^2[/mm]
>
>
> [mm]\frac{dt}{dx} = 2(x+3)[/mm]
>
> [mm]dx = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt[/mm]
>
>
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}*\frac{1}{(x+3)}* \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln(t) = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln((x+3)^2)[/mm]
Du kannst nicht einfach das x, das noch im Term steckt ignorieren. Entweder Du substituierst $t=x+3$, dann taucht das Problem gar nicht auf, oder Du drückst das x durch t aus.
>
>
> Mopsi
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > Neuer Versuch:
> >
> > > > [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
> >
> >
> > Substitution:
> >
> > [mm]t = (x+3)^2[/mm]
> >
> >
> > [mm]\frac{dt}{dx} = 2(x+3)[/mm]
> >
> > [mm]dx = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt[/mm]
> >
> >
> > [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}*\frac{1}{(x+3)}* \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)} * \int_{}^{}{ \frac{1}{t}} = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln(t) = \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}*ln((x+3)^2)[/mm]
>
> Du kannst nicht einfach das x, das noch im Term steckt
> ignorieren. Entweder Du substituierst [mm]t=x+3[/mm], dann taucht
> das Problem gar nicht auf, oder Du drückst das x durch t
> aus.
Tut mir Leid, ich weiß nicht genau was du meinst.
Welches x meinst du genau, bzw. welchen Term?
Mopsi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Do 30.05.2013 | | Autor: | notinX |
> Tut mir Leid, ich weiß nicht genau was du meinst.
Ich weiß auch immer noch nicht so genau was Du da treibst...
> Welches x meinst du genau, bzw. welchen Term?
Wieviel x gibt es denn in Deiner Gleichung die ich meinen könnte?
Also, das Integral ist:
$ [mm] \int\frac{1}{(x+3)^2}\,\mathrm{d}x [/mm] $
Du wählst als Substitution:
$t = [mm] (x+3)^2$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2(x+3)$
[/mm]
Das ins Integral eingesetzt ergibt:
$ [mm] \int\frac{1}{2t(x+3)}\,\mathrm{d}t [/mm] $
Jetzt schwirrt dort noch ein x im Nenner rum, ich hoffe Du siehst es. Das will jetzt noch durch t ausgedrückt werden bevor Du integrieren kannst.
>
>
> Mopsi
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Ah, jetzt habe ich's. Sorry, dass ich mich so blöd angestellt habe 
Dankeschön notinX.
Mopsi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Do 30.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx}[/mm]
>
>
>
> Guten Abend, ich weiß, dass man dieses Integral auch
> einfach ohne Substitution lösen kann, ich will es aber
> trotzdem mit der Substitution machen.
>
> Substitution:
>
> [mm]u = (x+3)^2[/mm]
> [mm]\frac{du}{dx} = 2(x+3)[/mm]
>
>
> [mm]\int_{}^{}{ \frac{1}{(x+3)^2} dx} = \int_{}^{}{ \frac{1}{t}}* \frac{1}{2}* \frac{1}{(x+3)}dt [/mm]
1.: Wo kommt das 1/t her?
2.:
Wenn Du's richtig machst, musst Du natürlich auch [mm] $u=(x+3)^2$ [/mm] und auch die
[mm] $x\,$ [/mm] alle ersetzen, wenn Du die Integrationsvariable von [mm] $x\,$ [/mm] zu [mm] $u\,$ [/mm] geändert hast:
[mm] $$\int \frac{1}{(x+3)^2}dx=\int \frac{1}{(x+3)^2}\frac{du}{2(x+3)}=\int \frac{1}{u} \frac{du}{2x+3}=(\star)$$
[/mm]
Jetzt ist halt leider [mm] $x=x(t)\,,$ [/mm] wenn Du nun mal annimmst, dass $x [mm] \ge [/mm] -3$ ist,
dann kannst Du [mm] $u=(x+3)^2 \Rightarrow x=\sqrt{u}-3$ [/mm] benutzen:
[mm] $$(\star)=\int \frac{1}{u} \frac{du}{2(x+3)}=\int \frac{1}{u}*\frac{1}{2*(\sqrt{u}+3-3)}du=\frac{1}{2}*\int \frac{1}{u*\sqrt{u}}du$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Do 30.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Alles klar, wieder super und ausführlich erklärt.
Habe es nun verstanden und auch das richtige Ergebnis raus.
Dankeschön Marcel.
Mopsi
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