Substitution einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 So 26.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Berechnen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichung. Geben SIe die Lösung als reelle Funktion in expliziter Form an und schreiben Sie alle Lösungsschritte auf.
$y' + [mm] \bruch{y}{x+1}=-(x+1)*y^2$
[/mm]
Hinweis: Setzen Sie [mm] $y=\bruch{1}{u}$ [/mm] |
An sich habe ich nur ne kleine Frage zu der Substitution.
In der Aufgabe ist ja bereits vorgegeben, dass [mm] $y=\bruch{1}{u}$ [/mm] sei.
Wenn ich jetzt die Ableitung davon bilde, darf ich dann $u$ als ganz normale Variable anerkennen oder ist $u$ eine Funktion von x?
Ich habe mal die beiden Möglichkeiten aufgeschrieben, die mir einfallen.
Vielleicht könnte mir ja mal jemand sagen welche davon richtig ist.
[mm] $y'=-\bruch{1}{u^2}$ [/mm]
oder
[mm] $y'=-\bruch{u'}{u^2}$
[/mm]
Welches der beiden ist richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
u muss eine Funktion von x sein, also u=u(x).
Reicht dir das oder möchtest du noch den Anfang des Rechenweges haben?
JAn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 So 26.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Hey!
Ja das leuchtet ein.
Also wäre doch dann für diesen Fall [mm] $y'=\bruch{u'}{u^2}$ [/mm] richtig oder?
Dann würde ich alles einsetzen und käme auf:
[mm] $-\bruch{u'}{u^2}+\bruch{1}{u(x+1)}=-(x+1)*\bruch{1}{u^2}$
[/mm]
Wäre das so richtig?
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Hallo,
> Hey!
>
> Ja das leuchtet ein.
> Also wäre doch dann für diesen Fall [mm]y'=\bruch{u'}{u^2}[/mm]
> richtig oder?
Da fehlt ein "Minus", welches aber später beim Einsetzen in die Dgl wieder auftaucht
> Dann würde ich alles einsetzen und käme auf:
>
> [mm]-\bruch{u'}{u^2}+\bruch{1}{u(x+1)}=-(x+1)*\bruch{1}{u^2}[/mm]
>
> Wäre das so richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun mit [mm] $-u^2$ [/mm] durchmultiplizieren, dann hast du eine Dgl, die du mit Trennung der Variablen gut lösen kannst!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 26.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Hey.
Danke für die Bestätigung meines Lösungsansatzes.
Allerdings schaffe ich es partout nicht die Variablen zu trennen.
Ich beschäftige mich noch nicht lange mit dem Thema DGL, deswegen habe ich wohl gerade einen Hänger...
Also ich komme durch Umformung zu folgendem:
$u' - [mm] \bruch{u}{x+1}=x+1$
[/mm]
Doch egal was ich jetzt mache, ich schaffe es nicht die Variablen voneinander zu trennen.
Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?
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Hallo bOernY,
> Hey.
>
> Danke für die Bestätigung meines Lösungsansatzes.
> Allerdings schaffe ich es partout nicht die Variablen zu
> trennen.
> Ich beschäftige mich noch nicht lange mit dem Thema DGL,
> deswegen habe ich wohl gerade einen Hänger...
>
> Also ich komme durch Umformung zu folgendem:
>
> [mm]u' - \bruch{u}{x+1}=x+1[/mm]
>
> Doch egal was ich jetzt mache, ich schaffe es nicht die
> Variablen voneinander zu trennen.
>
> Hat jemand vielleicht einen Tipp für mich?
Löse zuerst die homogene DGL:
[mm]u' - \bruch{u}{x+1}=0[/mm]
Zur Lösung der inhomogenen DGL machst Du
dann dern Ansatz mit der Variation der Konstanten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 26.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Danke für den Tipp!
Ich habe das jetzt mal versucht. Vielleicht könnt ihr euch das ja mal anschauen.
Zuerst habe ich die homogene DGL [mm] $u'-\bruch{1}{x+1}*u=0$ [/mm] gelöst.
Die allgemeine Lösung wäre:
[mm] $u_0 [/mm] = C * [mm] e^{-\integral_{}{-\bruch{1}{x+1} dx}}$
[/mm]
[mm] $u_0= [/mm] C * (x+1) $
Nun habe ich die Variation der Konstanten durchgeführt.
$C [mm] \to [/mm] C(x)$
$u=C(x)*(x+1)$
$u'=C'(x) * (x+1) + C(x)$
Dies dann in die inhomogene DGL eingesetzt.
[mm] $C'(x)*(x+1)+C(x)-\bruch{C(x) * (x+1)}{(x+1)}=(x+1)$
[/mm]
$C'(x)*(x+1) = (x+1)$
$C'(x) = 1 $
$C(x) = [mm] \integral_{}^{}{C'(x) dx}= \integral_{}^{}{ 1 dx}= [/mm] x + K $
$u=C(x) * (x+1)$
$u=(x+K) * (x+1)$
[mm] $u=x^2+(1+K)x+K$
[/mm]
Resubstitution:
[mm] $y=\bruch{1}{u}$
[/mm]
[mm] $u=\bruch{1}{y}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{y}=x^2+(1+K)x+K$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{1}{x^2+(1+K)x+K}$
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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Hallo bOernY,
> Danke für den Tipp!
>
> Ich habe das jetzt mal versucht. Vielleicht könnt ihr euch
> das ja mal anschauen.
>
> Zuerst habe ich die homogene DGL [mm]u'-\bruch{1}{x+1}*u=0[/mm]
> gelöst.
>
> Die allgemeine Lösung wäre:
>
> [mm]u_0 = C * e^{-\integral_{}{-\bruch{1}{x+1} dx}}[/mm]
> [mm]u_0= C * (x+1)[/mm]
>
> Nun habe ich die Variation der Konstanten durchgeführt.
>
> [mm]C \to C(x)[/mm]
>
> [mm]u=C(x)*(x+1)[/mm]
> [mm]u'=C'(x) * (x+1) + C(x)[/mm]
>
> Dies dann in die inhomogene DGL eingesetzt.
>
> [mm]C'(x)*(x+1)+C(x)-\bruch{C(x) * (x+1)}{(x+1)}=(x+1)[/mm]
>
> [mm]C'(x)*(x+1) = (x+1)[/mm]
> [mm]C'(x) = 1[/mm]
>
> [mm]C(x) = \integral_{}^{}{C'(x) dx}= \integral_{}^{}{ 1 dx}= x + K[/mm]
>
> [mm]u=C(x) * (x+1)[/mm]
> [mm]u=(x+K) * (x+1)[/mm]
> [mm]u=x^2+(1+K)x+K[/mm]
>
> Resubstitution:
>
> [mm]y=\bruch{1}{u}[/mm]
> [mm]u=\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{y}=x^2+(1+K)x+K[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{x^2+(1+K)x+K}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja, das ist soweit richtig.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
wenn $y=1/u(x)$ ist, dann ist
nach kettenregel [mm] $y'(x)=\frac{dy}{du} [/mm] * [mm] \frac{du}{dx}$
[/mm]
$y'=ln(u(x)) * u'(x)$..
oder hab ich grad nen hänger?...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 26.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Also ich glaube dein Ansatz ist nicht richtig.
$ln(u)$ ist ja nicht die Ableitung von [mm] $\bruch{1}{u}$ [/mm] sondern die Stammfunktion!
Ich habe es nach Quotientenregel gelöst:
[mm] $y=\bruch{1}{u(x)}$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{0*u(x) - 1*u'(x)}{(u(x))^2}$
[/mm]
also [mm] $y'=-\bruch{u'}{u^2}$
[/mm]
Kann aber auch sein, dass ich mich vertue.
Vielleicht könnte jemand anderes ein Urteil über unsere beiden Lösungsansätze fällen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
UPS!!!...
ok sorry sorry sorry, da hast du recht...
ja das mit der quotientenregel stimmt so, aber das ist ja erst die ableitung nach u, und da du ja y nach x ableiten möchtest, musst du noch "mal innere abl" rechnen.
ich muss auch dazu sagen, dass ich so eine substittution noch nie gesehen habe, ich kenne bei gew. dgl eigenltich nur die "linearen dgl" der Form y=f(y/x) und da substituiert man u=y/x.
aber wenn ihr das so machen sollt, dann ok...
gegen kommentare von anderen hät ich auch nix ;)
JAn
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