www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Substitution x=sinh(z)
Substitution x=sinh(z) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{\wurzel{1+x^2} dx} [/mm]

Hinweis:

x=sinh(z)

Hallo allerseits!

Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung freuen.  [happy]

x=sinh(z)

Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht z=.....sondern x=......
Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)
Wie leitet man das dann ab?

Bei:

z=arsinh(x)

[mm] z'=\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} [/mm]


[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=...... [/mm]

Wie geht das dann weiter bzw. was bringt diese Substitution überhaupt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß

Angelika
        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 28.06.2008
Autor: koepper

Hallo,

> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2} dx}[/mm]
>  
> Hinweis:
> x=sinh(z)
>  Hallo allerseits!
>  
> Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt
> bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese
> Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht
> alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung
> freuen.  [happy]
>  
> x=sinh(z)
>  
> Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht
> z=.....sondern x=......

damit es dir leichter fällt, einzusetzen.

>  Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)

man könnte.

>  Wie leitet man das dann ab?

Leite besser $x = [mm] \sinh [/mm] z$ ab:

Bedenke, daß [mm] $\sinh [/mm] z = [mm] \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ [/mm] ist.

Das abzuleiten schaffst du sicher.

übrigens:  [mm] $\frac{e^z + e^{-z}}{2} [/mm] = [mm] \cosh [/mm] z$ ;-)

Nur so nebenbei...
Berechne doch bitte mal in Termen der e-Funktion die folgenden beiden Ausdrücke
[mm] $\sinh^2 [/mm] z + 1 = [mm] \ldots$ [/mm]
[mm] $\cosh^2 [/mm] z =  [mm] \ldots$ [/mm]

Gruß
Will
Bezug
                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Will!

Danke für die Hilfe!
Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut ist.  [lichtaufgegangen]

Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:

[mm] x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u) [/mm]

Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] nicht wie sonst   [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] .

Wei sonst dx ja [mm] \bruch{du}{cosh(u)} [/mm]  wäre, was ja nicht zutrifft.

Einsetzen:
[mm] \integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du} [/mm]



Weiter mit patieller Integration:


[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}= [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du} [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u [/mm]


[mm] 2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2} [/mm]

Resubst.

[mm] \integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2} [/mm]

Stimmt das so?

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo Will!
>  
> Danke für die Hilfe!
>  Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut
> ist.  [lichtaufgegangen]
>  
> Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:
>  
> [mm]x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u)[/mm]
>  
> Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] nicht wie sonst   [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] .


Ja.


>  
> Wei sonst dx ja [mm]\bruch{du}{cosh(u)}[/mm]  wäre, was ja nicht
> zutrifft.
>  
> Einsetzen:
>  [mm]\integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du}[/mm]
>  
>
>
> Weiter mit patieller Integration:
>  
>
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}=[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du}[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u[/mm]
>  
>
> [mm]2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2}[/mm]
>  
> Resubst.
>  
> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2}[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Stimmt. [ok]


>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Mathepower!

Danke für die Korrektur!!

Gruß

Angelika
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo!

ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration eigentlich bei [mm] \integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}?? [/mm]
Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da [mm] cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}. [/mm]
Aber auch die Subst. von [mm] a^2+x^2=u [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
Was könnte man in so einem Fall substituieren?
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank!

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo!
>  
> ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration
> eigentlich bei [mm]\integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}??[/mm]
>  Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da
> [mm]cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}.[/mm]
>  Aber auch die Subst.
> von [mm][mm] a^2+x^2=u[/m] [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
>  Was könnte man in so einem Fall substituieren?


Hier kann man [mm]x=a*\sinh\left(u\right)[/mm] substituieren.


>  Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de