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Forum "Integration" - Substitutionsfrage
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Substitutionsfrage: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Do 26.07.2007
Autor: hansman

Hallo,

wenn ich substituiere, muss dann x wegfallen, oder kann ich auch x als Konstante ansehen?
Wie ist das denn mit der Integration 4/ [mm] x^2+2 [/mm] als Beispiel.

Bitte um Hilfe!
Danke


        
Bezug
Substitutionsfrage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Do 26.07.2007
Autor: blascowitz

Guten Abend.
Also mit der Substitution ist das so eine Sache. Die Substitutionsregel sagt ja

[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi(x))\phi'(x) dx} =\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x) dx} [/mm]

Man möchte bei der Substitution möglichst aus einer "komplizierten Funktion" eine einfacher zu integrierende Machen. Dazu muss entsprechend substituiert werden. x darf dabei nicht als konstante angesehen werden, weil du ja danach integrierst. X muss dabei  aber komplett wegfallen wenn du x ersetzt weil du dann nach einer anderen Variablen integrierst. Im fall von f(x) [mm] =\bruch{4}{x^2+2} [/mm] kommst du mit substitution  nicht weit. man muss immer schauen in wie weit sich die funktion durch substitution vereinfachen lässt. hier sieht das schlecht aus. Wenn du [mm] x^2+2=z [/mm] setzt dann ist [mm] z'=2x=\bruch{dz}{dx} [/mm] . Daraus folgt das dx= [mm] \bruch{1}{2*x} [/mm] dz ist mit x= [mm] \pm \wurzel{z-2}. [/mm] Es steht also da wenn du so substituierst am ende folgendes Integral [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{4}{2z \wurzel{z-2}} dz}. [/mm] Ist also nicht wirklich einfacher geworden. In diesem Beispiel bietet sich etwas anderes an. Stichwort ist quadratische Ergänzung und Arkustangens. Ich bestimme jetzt mal die stammfunktion f(x) [mm] =\bruch{4}{x^2+2} [/mm] =2 [mm] \bruch{1}{0.5x^2+1}. [/mm] Einfach unten 2 ausgeklammert und oben gekürzt. Jetzt benutze ich das [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] die stammfunktion [mm] \arctan(x) [/mm] hat. Also bringe ich das nach oben [mm] 2*\arctan(\bruch{1}{\wurzel{2}}x). [/mm] Jetzt fehlt nur noch das Reziproke der inneren Ableitung also noch mal [mm] \wurzel{2}. [/mm] Dann hast du das ergebnis ohne substiution raus nämlich [mm] \wurzel{2}*2*\arctan(\bruch{1}{\wurzel{2}}x). [/mm] Man muss genau schauen um was für eine funktion es sich handelt um zu sehen ob sich substitution lohnt. Mit der Zeit bekommt man ein auge dafür

Ich hoffe ich konnte helfen. Einen schönen Abend noch

Bezug
                
Bezug
Substitutionsfrage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Do 26.07.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Es stimmt nicht, dass man hier mit Substitution nicht weit kommt. Es ist sogar meiner Meinung nach der schnellere Weg.

Man könnte hier u²=x²/2 substituieren

Dann muss man nur noch 1/(u²+1)*2^(-1/2) integrieren.

Gruß

Reinhold

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