www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Substitutionsmethode
Substitutionsmethode < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Substitutionsmethode: Stimmt das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mi 05.03.2008
Autor: chirion

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx} [/mm]

Hallo,

ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
1. Substitution von y=ln(x)
2. [mm] f'(y)=\bruch{dy}{dx}= \Rightarrow \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] dx=x.dy
3. Hier habe ich in der noch nicht korrekten Integration [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}}dx [/mm] das dx durch den letzen Schritt aus (2) ersetzt. So erhalte ich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}*x }dy. [/mm] Dabei kürzt sich [mm] \bruch{1}{x}*x [/mm] weg.
4. Das verbleibende [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y}} [/mm] dy integriere ich nach y und erhalte ln(y).
5. Nun habe ich ln(x) für y rücksubstituiert und erhalte

F(x)= ln(ln(x)) + C

Mein Problem ist, dass ich keine Lösung zu dieser Aufgabe habe, und jetzt nicht weiß ob es stimmt.
Vielleicht kennt ja jemand das Beispiel und kann mir da helfen.
Vielen Dank!

Chris


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mi 05.03.2008
Autor: defjam123

hallo!

Es soll die Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx} [/mm] gebildet werden. Es wird substituiert mit ln(x)=t

[mm] t'=\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{x} [/mm]

also haben wir dx=dt*x

Jetzt setzen wir es ein un erhalten:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t}dt} [/mm] (x kürzt sich ja weg)

bilden wir jetzt die Stammfuntkion so erhalten wir F(x)=ln(t)+c
jetzt noch rücksubstituieren und das Endergebnis lautet

F(x)=ln(ln(x))+c

Also genau das selbe Ergebnis wie du

Gruss






Ergebnis für die Stammfuntkion und zwar F(x)=

Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 14:55 Mi 05.03.2008
Autor: Marcel

Hi,

>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{t}dt}[/mm] (x kürzt sich ja weg)
>  
> bilden wir jetzt die Stammfunktion so erhalten wir
> F(x)=ln(t)+c

[mm] $F(t)=\ln(t)+c$ [/mm]

Denn das ist die Stammfunktion zu $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$ [/mm] in der Variablen $t$.

>  jetzt noch rücksubstituieren und das Endergebnis lautet
>  
> F(x)=ln(ln(x))+c

Strenggenommen müsste da stehen, dass mit

[mm] $G(x):=F(\ln(x))=\ln(\ln(x))+C$ [/mm]

dann $G$ eine Stammfunktion zu $x [mm] \mapsto \frac{1}{x*\ln(x)}$ [/mm] ist. Das war auch der Grund, warum Du oben wohl anstatt $F(t)$ halt $F(x)$ geschrieben hattest (Du wolltest diese Funktion, die ich nun $G$ genannt habe, halt $F$ nennen, zudem ist aber $F$ dann eigentlich doch eine andere Funktion, nämlich eine Stammfunktion von $t [mm] \mapsto \frac{1}{t}$). [/mm] Wenn man es formal einwandfrei machen wollte, muß man sich genau die Formulierung der Substitutionsregel angucken!

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Mi 05.03.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch {1}{x*ln(x) }dx}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe versucht die Aufgabe folgendermaßen zu lösen:
>  1. Substitution von y=ln(x)
>  2. [mm]f'(y)=\bruch{dy}{dx}= \Rightarrow \bruch{1}{x} \Rightarrow[/mm]
> dx=x.dy
>  3. Hier habe ich in der noch nicht korrekten Integration
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}}dx[/mm] das dx durch
> den letzen Schritt aus (2) ersetzt. So erhalte ich
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y}*\bruch{1}{x}+x }dy.[/mm]
>  4. Das
> integriere ich nach y und erhalte [mm]ln(y)*\bruch{1}{y}*y[/mm]
> (wobei sich die letzten Teile wegkürzen).
>  5. Nun habe ich ln(x) für y rücksubstituiert und erhalte
>  
> F(x)= ln(ln(x)) + C
>  
> Mein Problem ist, dass ich keine Lösung zu dieser Aufgabe
> habe, und jetzt nicht weiß ob es stimmt.
>  Vielleicht kennt ja jemand das Beispiel und kann mir da
> helfen.
>  Vielen Dank!
>  
> Chris
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

abgesehen von der anderen Antwort kannst Du derartiges auch selbst kontrollieren.
Du brauchst doch nur zu prüfen, ob mit [mm] $F(x)=\ln(\ln(x))+C$ [/mm] gilt, dass [mm] $F'(x)=\frac{1}{x*\ln(x)}$: [/mm]

Es gilt nach der Kettenregel wegen $C' [mm] \equiv [/mm] 0$:
[mm] $F'(x)=\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{=\ln'(\ln(x))}*\underbrace{\frac{1}{x}}_{=\ln'(x)}=\frac{1}{x*\ln(x)}$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de