Substitutionsregel, Int.-Rech. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $\rmfamily \int\limits^{3}_{1}\bruch{\pi*\cos\left(\pi x\right)}{\sin\left(\pi x\right)}\,\mathrm{d}x$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \int\limits^{3}_{1}\bruch{10}{\left(3x+1\right)^2}\,\mathrm{d}x$ [/mm] |
[mm] $\rmfamily \text{Hi, zusammen,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die Regel}$
[/mm]
[mm] $$\rmfamily \int\limits^{b}_{a}f\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)\,\mathrm{d}x=\int\limits^{g\left(b\right)}_{g\left(a\right)}f\left(z\right)\,\mathrm{d}z$$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{und die Geschichte mit der Kettenregel ist mir an und für sich ja klar, doch mir ist noch nicht ersichtlich, wie man}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{an solche Aufgaben rangehen muss, um auf die vereinfachte Form }f\left(z\right)\text{ zu kommen. Beim 1. Bei-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{spiel wurde in der Schule gesagt, dass es folgendermaßen weitergeht:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \int\limits^{3}_{1}\bruch{\pi*\cos\left(\pi x\right)}{\sin\left(\pi x\right)}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{g\left(\bruch{1}{3}\right)}^{g\left(\bruch{1}{2}\right)}\bruch{1}{z}\,\mathrm{d}z$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dass die Ableitung von }\sin\left(\pi x\right)\text{ }\pi*\cos\left(\pi x\right)\text{ ist, hab' ich auch direkt erkannt,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{doch wie komm' ich jetzt auf }\bruch{1}{z}\text{?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Vielen Dank für Erklärungen, die meine Lehrerin diesmal versäumt hat,}$
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[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
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> [mm]\rmfamily \text{Hi, zusammen,}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{Die Regel}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \int\limits^{b}_{a}f\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)\,\mathrm{d}x=\int\limits^{g\left(b\right)}_{g\left(a\right)}f\left(z\right)\,\mathrm{d}z[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{und die Geschichte mit der Kettenregel ist mir an und für sich ja klar, doch mir ist noch nicht ersichtlich, wie man}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{an solche Aufgaben rangehen muss, um auf die vereinfachte Form }f\left(z\right)\text{ zu kommen. Beim 1. Bei-}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{spiel wurde in der Schule gesagt, dass es folgendermaßen weitergeht:}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \int\limits^{3}_{1}\bruch{\pi*\cos\left(\pi x\right)}{\sin\left(\pi x\right)}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{g\left(\bruch{1}{3}\right)}^{g\left(\bruch{1}{2}\right)}\bruch{1}{z}\,\mathrm{d}z[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{Dass die Ableitung von }\sin\left(\pi x\right)\text{ }\pi*\cos\left(\pi x\right)\text{ ist, hab' ich auch direkt erkannt,}[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{doch wie komm' ich jetzt auf }\bruch{1}{z}\text{?}[/mm]
Hallo,
das mit dem [mm] \bruch{1}{z} [/mm] kann ich Dir wohl noch erklären, etwas ratlos machen mich die Integrationsgrenzen, sowohl vom Startintegral, (Stichwort "uneigentliches Integral"), als auch von dem nach Substitution, bei welchem mir nicht klar ist, wo die Grenzen herkommen.
Ich ignoriere zunächst Deine Grenzen, gehe davon aus, daß f und g auf den Werten, die vorkommen, erklärt sind, und versuche den Rest zu erklären.
Mit [mm] f(x):=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] g(x):=sin(\pi [/mm] x)
hast Du bei [mm] \integral \bruch{\pi cos(\pi x)}{sin(\pi x)} [/mm] die Situation
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{\pi cos(\pi x)}{sin(\pi x)}dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(g(x))g'(x) dx}
Nun ist [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(g(x))g'(x) [mm] dx}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z)dz}, [/mm]
in Deinem Fall also [mm] f(z)=\bruch{1}{z}.
[/mm]
Warum ist das so?
Mal angenommen, man hat eine Stammfunktion von F von f.
Wendest Du die Kettenregel auf F [mm] \circ [/mm] g an, bekommst Du
(F [mm] \circ [/mm] g)'(x)=F'(g(x))*g'(x)=f(g(x))*g'(x).
Also ist [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(g(x))g'(x) dx}= (F [mm] \circ g)(x)|_b^a [/mm] =F(g(a))-F(g(b))
= ---- und jetzt kommt der Witz, denn F ist eine Stammfunktion von f
---= [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z)dz}.
[/mm]
Ist es das, was Du wissen wolltest?
(Ich habe mir einige Ungenauigkeiten geleistet, z.B. nicht aufgeschrieben, von wo nach wo die Funktionen gehen, und auch die Anforderungen an die Funktionen fortgelassen)
Als Kochrezept fürs Abi und überhaupt kannst Du Dir für diesen speziellen Fall folgendes merken:
Wenn eine Funktion zu integrieren ist, die ein Quotient ist wie folgt:
[mm] \bruch{ableitung.der.funktion}{funktion}, [/mm] dann ist deren Stammfunktion ln(funktion). Kommt gerne dran, glaube ich!
Gruß v. Angela
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Ah!!!
Es fällt mir gerade wie Schuppen aus den Augen: Du hast Dich wohl nur verschrieben...
Es sollte sicher heißen [mm] \integral_{1/3}^{1/2}.
[/mm]
Dann paßt alles.
Gruß v. Angela
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