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Forum "Uni-Analysis" - Suche Metrik
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Suche Metrik: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 So 05.06.2005
Autor: Mathematiker84

Hallo,

ich suche eine Metrik auf der Menge [mm] X:=(-\pi/2, \pi/2), [/mm] so dass (X,d) vollständig ist. Dabei soll sie die selben offenen Mengen wie die übliche Metrik erzeugen.

Kann mir einer weiterhelfen?

Gruß
MM

        
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Suche Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 So 05.06.2005
Autor: SEcki


> ich suche eine Metrik auf der Menge [mm]X:=(-\pi/2, \pi/2),[/mm] so
> dass (X,d) vollständig ist. Dabei soll sie die selben
> offenen Mengen wie die übliche Metrik erzeugen.

Bei den Grenzen sollten doch mal die Alarmglocken klingeln! Ziehe dann einfach mal die Metrik mit dieser hin (zurück?). Das Problem an dem Intervall sind ja vor allem die Grenzen, sprich: je weiter du an den and gehst, desto größer muss der Abstand zwischen einzelnen Punkten werden.

SEcki

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Suche Metrik: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 So 05.06.2005
Autor: Mathematiker84

Also es muss ja ne Metrik sein, in der alle Cauchyfolgen konvergieren.
Die Grenzen erinnern stark an irgendwas mit tangens, nur tan(x) z.B. divergiert ja.

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Suche Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 05.06.2005
Autor: SEcki


>  Die Grenzen erinnern stark an irgendwas mit tangens, nur
> tan(x) z.B. divergiert ja.

Ja - und? Oder viel mehr: ist doch gut. Die Grenzen selber sind ja nicht drin, und die x-Werte geg. die Grenzen werden immer größer. Kannst du mit Tangens jetzt einfach einen Ansatz machen? Kannst du zeigen, daß a) das dann vollständig ist und b) die gleichen offenen Mengen erzeugt?

(Eigtl ist die Aufgabe trvial, da der Tangens bijektiv das Intervall auf ganz [m]\IR[/m] abbildet, und mit dem Arcustangens eine stetige Umkehrung hat - also sind die homöomorph bzgl. der Standardtopologie, und damit kann man beide Tatsachen von [m]\IR[/m] auf das Intervall übertragen.)

SEcki

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Suche Metrik: vielleicht ne Idee?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 05.06.2005
Autor: Mathematiker84

Hallo,

also wenn der tan(x) gegen [mm] \pi/2 [/mm] konvergiert muss ich eine Metrik finden bezüglich der die Folge keine Cauchyfolge ist, also quasi die Kontraposition zeigen, oder?

*edit*
Quatsch, tan(x) divergiert, sorry. Was ist mit arctan(x)? Das konvergiert ja gegen [mm] \pi/2 [/mm]

Kann ich nicht sowas nehmen:

d(x,y)=|(tan(x)*tan(y))/tan(x)|=|tan(y)| --> [mm] \infty [/mm]

Zu b) hab ich nich keine Idee.

Gruß
MM

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Suche Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 So 05.06.2005
Autor: SEcki


> d(x,y)=|(tan(x)*tan(y))/tan(x)|=|tan(y)| --> [mm]\infty[/mm]

Das ist keine Metrik. Probier mal [m]|\tan(x)-\tan(y)|[/m] ...

SEcki

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Suche Metrik: Eine Hälfte verstanden, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 So 05.06.2005
Autor: Mathematiker84

Ok, sie erzeugt die selben offenen Mengen, da [mm] d_{1}=d_{2}*f [/mm] mit f(x)=tan(x), aber woran seh ich, dass die Metrik vollständig ist, also wie weise ich nach, dass jede Cauchyfolge auch konvergiert bzw. per Kontraposition, dass es eine Folge gibt, die gegen einen Wert außerhalb von X konvergiert aber keine Cauchyfolge ist?
Kannst du mir nur einmal erklären, wie ich da rangehen soll?


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Suche Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Mo 06.06.2005
Autor: SEcki


> Ok, sie erzeugt die selben offenen Mengen, da [mm]d_{1}=d_{2}*f[/mm]
> mit f(x)=tan(x),

"da" - das müsste man kurz begründen - am besten mit der Stetigkeit von [m]\tan[/m] und der Stetigkeit der Umekhrung.

> aber woran seh ich, dass die Metrik
> vollständig ist, also wie weise ich nach, dass jede
> Cauchyfolge auch konvergiert

Zeige doch einfach: wenn es eine Cauchyfolge ist, dann gehen die Punkte nicht gegn den Rand. Also: was war vorher das Problem? Der Rand. Kann jetzt eine Folge die geg. den Rand konvergiert, eine Cauchyfolge in der Metrik sein? (Wohl nicht ...). Im Inneren: nehme mal eine Cauchyfolge mit der neuen Metrik, dann liegen die Folgen irgendwann mal in eine Epsilon-Umgebbung ganz drinnen, dann kannst du das zurückziehen.

SEcki

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Suche Metrik: Beweis korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mo 06.06.2005
Autor: Mathematiker84

tan(x) und arctan(x) sind stetig.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X bezgl. der Metrik,  d.h. [mm] tan(x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge in R, denn eine stetige Abbildung bildet eine Cauchyfolge auf eine Cauchyfolge ab und tan(x) bildet [mm] (-\pi/2; \pi/2) [/mm] bijektiv auf [mm] \IR [/mm] ab.
Da R vollständig ist bezüglich der Standardmetrik, konvergiert sie in [mm] \IR, [/mm] gegen einen Wert, den ich z nenne. x:= arctan(z) liegt in [mm] (-\pi/2; \pi/2). [/mm]
Der arctan(x) ist ebenfalls stetig, d.h. [mm] x_n=arctan(tan(xn)) [/mm] konvergiert dann gegen arctan(z) aus (-pi/2;pi/2)). Somit konvergieren alle Cauchyfolgen gegen einen Grenzwert in meiner Menge.

Gruß
MM

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Suche Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Di 07.06.2005
Autor: Julius

Hallo!

Ja, der Beweis ist so korrekt. :-)

Das Problem ist im Übrigen sozusagen "dual" (das passt hier nicht ganz, es ist aber klar, was ich meine, hoffe ich ;-)) zu dem Problem auf [mm] $\IR$ [/mm] eine Metrik zu finden, die die gleiche Topologie wie die übliche erzeugt und dennoch nicht vollständig ist!!

(Wodurch man sieht, dass Vollständigkeit in metrischen Räumen keine topologische Invariante ist, sondern eine Eigenschaft der Metrik selbst ist, die die Topologie erzeugt.)

Nach der Aufgabe ist ja jetzt klar, wie man sich diese Metrik zu basteln hat, nämlich gemäß

$d(x,y) = [mm] |\arctan(x) [/mm] - [mm] \arctan(y)|$. [/mm]

Dann ist jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit dem uneigentlichen Grenzwert [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=+\infty$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $(\IR,d)$, [/mm] die bezüglich $d$ in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergiert!

Vieel Grüße
Julius

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Suche Metrik: Immer noch nicht verstanden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 06.06.2005
Autor: Mathematiker84

Hallo,

ich brauch leider immer noch Hilfe bei der Aufgabe, der Nachweis der Vollständigkeit macht mich verrückt.

Gruß
MM

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