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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 20.03.2011 | | Autor: | Fry |
Satz:
Sei S eine suffiziente Statistik für [mm](P_\nu)_{\nu\in\Theta}[/mm] Dann existiert für jeden Schätzer [mm]T:\Chi\to\Theta [/mm] ein randomisierter Schätzer [mm]\widehat{T}[/mm] basierend auf S(X)[mm] derart, dass [/mm] [mm]T[/mm] und [mm]\widehat{T}[/mm] das gleiche Risiko haben.
Beweis: Setze [mm]\widehat{T}(s)=T(x^{\*})[/mm], wobei [mm]x^{\*}[/mm] auf [mm]S^{-1}(s)[/mm] zufällig gemäß [mm]P_\nu[X\in\cdot|S(X)=s][/mm] "gezogen" wird. Wegen der Suffizienz von S benötigen wir nicht die Kenntnis von [mm]\nu[/mm]
Dann gilt: [mm] $R(\nu,\widehat{T})=E(L(\nu,\widehat{T}(S(X))
[/mm]
[mm] =E(E(L(\nu,T(X))|S(X)=s)$
[/mm]
Verstehe das letzte Gleichheitszeichen nicht. Wie kommt man darauf?
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 20.03.2011 | | Autor: | Fry |
Siehe auch
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/loewe/mathstatistik.pdf
Seite 21
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
der Kürze halber mit $f(x):= L(\nu, x)$
Also,
> $R(\nu,\widehat{T})=E(L(\nu,\widehat{T}(S(X))) =E(E(L(\nu,T(X))|S(X)=s))$
Die Bedingung $S(X)=s$ ist nicht astrein. Im zweiten Term kann $S(X)$ ja alles sein, was es bei einer Ziehung jetzt genau ist, hängt von der Ausprägung von X ab. Hinten verlangen wir dann aber plötzlich einen spezifischen Wert s. Die Sache ist, daß das s zufällig ist.
Ich wollte das klarer machen, indem ich es als S schreibe, aber hab das schlauerweise beim ersten Mal vergessen. Diesmal laß ich das einfach:
$E[f(\hat T(S(X)))] = E[ E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)]] =$
Turmeigenschaft des bed. EW
$=\int \left. E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)]\right|_{S(X)=s}\ P(S(X)\in ds) = (\star )$
1. $E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)]$ ist eine Zufallsvariable, die sich als Funktion von $S(x)$ schreiben läßt: $E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)]=g(S(X))$. Also können wir den äußeren Erwartungswert berechnen, indem wir über alle möglichen Werte von $S(X)$ integrieren.
2. Wieso schreibe ich den ganzen Schrott mit g(S(X)), wenn $f(\hat T(S(X)))$ doch scheinbar auch schon eine Funktion von S(X) ist? Weil $\hat T(s)$ auch für festes s noch zufällig ist. Schau Dir dazu die Definition von $\hat T$ an.
3. $\left. E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)]\right|_{S(X)=s} = E[f(\hat T(S(X)))\ |\ S(X)=s]=$
diesen Schritt formal zu begründen, könnte länger werden. Intuitiv ist er hoffentlich klar. =)
$ = \int f(x)\ P(\hat T(S(X))\in dx\ |\ S(X)=s)=$
das ist einfach die Definition von $E(X|B)$, für eine Menge B anstatt einer $\sigma$-Algebra, eingesetzt.
$=\int f(x)\ P(\hat T(s)\in dx\ |\ S(X)=s)=\int f(x)\ P(T(Y)\in dx\ |\ S(X)=s)$
Y ist jetzt eine ZV mit Verteilung X|S(X)=s, das war die Definition von $\hat T$. Da wir eh S(X)=s bedingen, ist die Wkeit, daß $T(Y)\in A$ gleich der, daß $T(X)\in A$. Wo man jetzt das T unterbringt (im Integranden oder im Maß), kann man frei wählen:
$\int s\ P(g(X)\in ds) = E[g(X)] = \int g(s)\ P(X\in ds)$
Du solltest nur zur Kenntnis nehmen, daß die s links und rechts unterschiedlich sind.
Zurück im Text:
$(\star)=\int\int f(x)\ P(T(X)\in dx\ |\ S(X)=s)\, P(S(X)\in ds)=\int\int f(x)\ P(T(X)\in dx,\, S(X)\in ds) =$
$P(T(X)\in \cdot\ |\ S(X)=s)$ ist ein stochastischer Kern.
$=\int f(x)\ \int\ P(T(X)\in dx,\, S(X)\in ds)=\int f(x)\ P(T(X)\in dx)=$
und der Integrand hängt nicht von $S(X)$ ab, also kriegen wir die Randverteilung, und das ist
$= E[f(T(X))]$
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 20.03.2011 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan,
vielen Dank für deine Antwort.
Komme mit den bedingten Erwartungswerten nicht so richtig klar.
Könntest du vielleicht erklären, wie man auf die Umformungen kommt?
Also:
1 Umformung: Definition/Glättungseigenschaft der faktor. bedingten Erwartung ?
2.???
3.???
4.Satz von Fubini für bedinget Erwartungen?
5.???
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 20.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
gib mir ein paar Minuten und ich editier die erste Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Fry |
Hi Stefan,
echt super von dir,
danke, danke :)
LG
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