Sumem der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Maths |
| Aufgabe | Bestimme die Summe der Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+ (-1)^{n}}{3^{n}} [/mm] |
bin mit dem quotientenkriterium rangegangen:
[mm] \bruch{2+(-1)^{n+1}*3^{n}}{3^{n+1}*(2+(-1)^{n}}
[/mm]
durch kuerzen komme ich dann auf
[mm] \bruch{2+(-1)^{n+1}}{6+3*(-1)^{n}}
[/mm]
nun habe ich nochmal
[mm] (-1)^{n} [/mm] ausgeklammert
sodas ueber dem bruchstrich (-1) + [mm] \bruch{2}{(-1)^{n}}
[/mm]
unter unter dem bruchstrich 3 + [mm] \bruch{6}{(-1)^{n}}
[/mm]
sei nun n gerade, so konvergiert die reihe gegen [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
is n ungerade, so ist die reihe divergent
die summe der riehe ist
[mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{9}} [/mm] = [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
stimmt das?
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Hallo Maths,
Zunächstmal das Quotientenkriterium gibt nur Auskunft darüber ob die Reihe überhaupt konvergiert oder nicht. Man kann damit keinerlei Grenzwerte ausrechnen.
Es gibt verschiedene Heragehensweise um Grenzwerte zu bestimmen. Hier wäre eine Möglichkeit sich mal die ersten Summanden hinzuschreiben.
Ich komme auf
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+ (-1)^{n}}{3^{n}}=3+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{27}+\bruch{1}{27}+.....[/mm]
Eventuell erkennst Du ja da schon eine gewisse Systematik.
Auf jeden fall sieht man schonmal das es nicht [mm] \bruch{9}{8} [/mm] sein kann.
viele grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maths!
Alternativ kannst Du diese Reihe auch auseinanderziehen und anschließend die beiden entstandenen geometrischen Reihen einzeln bestimmen:
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2+ (-1)^{n}}{3^{n}} \ = \ \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{2}{3^{n}}+\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^{n}}{3^{n}} \ = \ 2*\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{1}{3^{n}}+\summe_{n=0}^{ \infty} \left(\bruch{-1}{3}\right)^n \ = \ 2*\summe_{n=0}^{ \infty} \left(\bruch{1}{3}\right)^n +\summe_{n=0}^{ \infty} \left(-\bruch{1}{3}\right)^n [/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Maths |
und wie mache ich das bei:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \left(-\bruch{1}{3}\right)^n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Maths |
ist die summe der gesamten reihe 3,75?!?
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Hallo Maths,
Ja.
viele Grüße
mathemaduenn
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