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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 09.10.2011 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [mm]Z_n:=\sum_{\sigma=(\sigma_1,...,\sigma_n)\in\{+1,-1\}^n}e^{\sum_{i=1}^{n}a_i*\sigma_i}[/mm] [mm] (a_i\in\IR)
[/mm]
Möchte nun zeigen, dass gilt:
[mm]Z_n:= 2^n*\produkt_{i=1}^{n}\cosh(a_i)[/mm] |
Hey liebe Matheraumler :),
hab versucht obiges mit der Formel [mm]e^x=cosh(x)(1+tanh(x))[/mm] zu zeigen.
Komme aber nicht weiter bzw bin mir nicht sicher.
[mm]Z_n=\sum_{\sigma}\produkt_{i=1}^{n}e^{a_i\sigma_i}=\sum_{\sigma}\produkt_{i=1}^{n}\cosh(a_i)*(1+\sigma_i*\tanh(a_i))[/mm]
Da [mm]\tanh[/mm] eine ungerade Funktion und [mm]\cosh[/mm] eine gerade Funktion ist. Beim Ausmultiplizieren des Produktes stellt man fest, dass jeder Summand mindestens ein [mm] \sigma_i [/mm] enthält bis auf [mm] cosh(a_1)*...*(cosh(a_n). [/mm] Beim Summieren über die [mm] \sigma [/mm] fallen damit alle Terme bis auf diese weg.
Stimmt das so? Bzw kann man das noch in Formel aufschreiben? Bzw wie würdet ihr das ausdrücken?
LG
Fry
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Ich würde das per Induktion machen. Der Induktionsanfang [mm]n=1[/mm] ist klar.
Für den Schluß von [mm]n[/mm] auf [mm]n+1[/mm] zerlegt man ein [mm](n+1)[/mm]-Tupel [mm]\sigma[/mm] in das [mm]n[/mm]-Tupel [mm]\sigma'[/mm] seiner ersten [mm]n[/mm] Koordinaten und die Koordinate [mm]\sigma_{n+1}[/mm]. In der Summe bildet man dann Paare aus den Summanden, die denselben Anfang [mm]\sigma'[/mm] haben. Dann beginnt die Rechnung so:
[mm]\sum_{\sigma \in \{ \pm 1 \}^{n+1}} \operatorname{exp} \left( \sum_{i=1}^{n+1} \sigma_i a_i \right) = \sum_{\sigma' \in \{ \pm 1 \}^n} \left( \operatorname{exp} \left( a_{n+1} + \sum_{i=1}^n \sigma_i a_i \right) + \operatorname{exp} \left( -a_{n+1} + \sum_{i=1}^n \sigma_i a_i \right) \right)[/mm]
[mm]= \sum_{\sigma' \in \{ \pm 1 \}^n} \left( 2 \cosh \left( a_{n+1} \right) \cdot \exp \left( \sum_{i=1}^n \sigma_i a_i \right) \right)[/mm]
Wie es jetzt weitergeht, sollte klar sein.
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