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Forum "Integration" - Summe <-> Integral
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Summe <-> Integral: Körper
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 05.09.2015
Autor: Hias

Aufgabe
Hallo es geht um die Darstellungen  der Bewegungsgleichungen des starren Körpers in dem Buch von V.l. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. Hier benutzt er immer Summen. Der Trägheitstensor oder die kinetische Energie wird mit einer Summe ausgedrückt und nicht, so wie es eigentlich ist mittels eines Integrals, da ein starrer Körper ja eigentlich unendlich viele Punkte hat.

Meine Frage ist nun, warum kann er das machen? Ist es ein spezieller Fall, da ein starrer Körper durch vier Punkte in allgemeiner Lage beschrieben wird, oder muss man gedanklich die Anzahl der Punkte gegen unendlich schicken?

Danke im Voraus
Hias

        
Bezug
Summe <-> Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Mo 07.09.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo es geht um die Darstellungen  der
> Bewegungsgleichungen des starren Körpers in dem Buch von
> V.l. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics.
> Hier benutzt er immer Summen. Der Trägheitstensor oder die
> kinetische Energie wird mit einer Summe ausgedrückt und
> nicht, so wie es eigentlich ist mittels eines Integrals, da
> ein starrer Körper ja eigentlich unendlich viele Punkte
> hat.
>  Meine Frage ist nun, warum kann er das machen? Ist es ein
> spezieller Fall, da ein starrer Körper durch vier Punkte
> in allgemeiner Lage beschrieben wird, oder muss man
> gedanklich die Anzahl der Punkte gegen unendlich schicken?


Hallo Hias,

ich habe mal kurz in einen Text dazu reingeschaut:

v-arnold-mathematical-methods-of-classical-mechanics-1989.pdf

Da steht auf Seite 138 (Buchseitenzahl) ein Satz, der so beginnt:

Theorem.   For a rotation of a rigid body fixed at a point O, with
angular velocity
[mm] \Omega [/mm] = ....
.....
the kinetic energy is equal to

     $\ T\ =\ [mm] \frac{1}{2}I_e \Omega^2\ [/mm] \ [mm] ,\quad [/mm] where\ \ [mm] I_e\ [/mm] =\ [mm] \sum_i\ m_i\,r_i^2$ [/mm]
.....  

Diese Darstellung bezieht sich ganz offensichtlich nicht auf
einen beliebigen starren Körper (wie man das eigentlich
annehmen dürfte), sondern auf ein starres System von
endlich vielen Massenpunkten.

Hier handelt es sich wohl schlicht und einfach um einen
Fehler (Abschnitt aus einem Kapitel über endliche Systeme
unbedacht übernommen).

Allerdings habe ich dann nicht auch den Rest des Buches
durchgesehen.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Summe <-> Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Mo 07.09.2015
Autor: Hias

Hallo Al-Chwarizmi  und danke für deine Antwort.
Ich habe mit meinem Professor darüber geredet und er meinte, dass man das schon machen kann, da man dann nur etwas Argumentation braucht um von Summen auf Integrale überzugehen.  
In meiner Arbeit betrachte ich einen Körper der am Ursprung fixiert ist. Ich hatte so überlegt, dass der starre Körper ja durch seine Zwangsbedingugen, dass die Punkte immer den gleichen Abstand zueinander haben müssen beschrieben wird. Wenn ich den Körper in Massepunkte zerlege und die Bewegungen der Massep-Punkte ansehe, sollte ich ja Sachen wie Drehimpuls, Trägheitstensor und die Bewegungsgleichungen darstellen können, da diese Punkte auch die Bewegung des Körpers wiederspiegeln. Macht das so Sinn?
MfG
Hias

Bezug
                        
Bezug
Summe <-> Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 07.09.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi  und danke für deine Antwort.
> Ich habe mit meinem Professor darüber geredet und er
> meinte, dass man das schon machen kann, da man dann nur
> etwas Argumentation braucht um von Summen auf Integrale
> überzugehen.

Na schön. Grob betrachtet (mit der Methode "Pi mal Handgelenk")
habe ich mir sowas ähnliches natürlich auch gedacht. In dem
bisschen Argumentation für eine Rechtfertigung würde aber
genau das stecken, was du dir auch schon klar gemacht hast:
Grenzübergang für Teilchenzahl gegen unendlich und
Ersetzung des Summenterms durch das entsprechende Integral.
In dem Kontext des Lehrtextes halte ich es aber für einen
nicht ganz verzeihlichen Fehler, eine Summe anzugeben, wo
eigentlich ein Integral hingehören würde.  


> In meiner Arbeit betrachte ich einen Körper der am
> Ursprung fixiert ist. Ich hatte so überlegt, dass der
> starre Körper ja durch seine Zwangsbedingugen, dass die
> Punkte immer den gleichen Abstand zueinander haben müssen
> beschrieben wird. Wenn ich den Körper in Massepunkte
> zerlege und die Bewegungen der Masse-Punkte ansehe, sollte
> ich ja Sachen wie Drehimpuls, Trägheitstensor und die
> Bewegungsgleichungen darstellen können, da diese Punkte
> auch die Bewegung des Körpers wiederspiegeln. Macht das so
> Sinn?

Im Prinzip schon, aber wenn du es mit einem stetig
ausgedehnten und homogen oder inhomogen mit Masse
belegten Körper zu tun hast, wäre schon die Darstellung
mittels Integralen die richtige Wahl. Andernfalls müsstest
du dich (bei anfänglicher Approximation durch eine
endliche Zahl von Massepunkten) doch immer wieder
zum Schluss mit Limesüberlegungen herumschlagen !

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Summe <-> Integral: Aber Hallo!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:51 Di 08.09.2015
Autor: HJKweseleit

Noch nie was von Atomen gehört?

Ein starrer Körper besteht aus einer endlichen Anzahl von Atomen, und daher ist nur die Summe die exakte Darstellung. Zur "Vereinfachung" geht man dann auf das Integral über.

Ebenso verhält es sich in der E-Lehre mit elektrischen Ladungen. Die Integrale liefern also genau genommen alle falsche Werte, nur die Summen sind korrekt. Mit denen lässt sich aber i.a. viiiel schwerer rechnen...

Bezug
                                        
Bezug
Summe <-> Integral: ups - aaaaber ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:32 Di 08.09.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Noch nie was von Atomen gehört?
>  
> Ein starrer Körper besteht aus einer endlichen Anzahl von
> Atomen, und daher ist nur die Summe die exakte Darstellung.
> Zur "Vereinfachung" geht man dann auf das Integral über.
>
> Ebenso verhält es sich in der E-Lehre mit elektrischen
> Ladungen. Die Integrale liefern also genau genommen alle
> falsche Werte, nur die Summen sind korrekt. Mit denen
> lässt sich aber i.a. viiiel schwerer rechnen...


Naja, so gesehen hast du natürlich absolut recht.
Nur dürfte die Lokalisierung und Massenbestimmung
der einzelnen Atome eines realen und nicht mikroskopischen
Körpers praktisch (und sogar auch nach Quantentheorie)
nicht bloß schwierig, sondern ein Ding der Unmöglichkeit sein.
Genau genommen müsste man dann wohl sogar sagen,
dass das Konzept eines "starren" Körpers schon gar
nicht realisierbar und deshalb unphysikalisch ist !

Um dem Thema wirklich gerecht zu werden, ist es
aber erforderlich, die theoretischen Prämissen zu klären.
Ich habe im Text nochmals nachgeschaut und gesehen,
dass Arnold den Begriff des starren Körpers zunächst als
ein System von Massenpunkten definiert (Buchseite 133).
Erst weiter hinten (Buchseite 140, Figur 118) spricht er
von der Möglichkeit, einen hypothetischen "stetigen starren Körper"
zu betrachten, dessen Massebelegung durch eine Dichtefunktion
beschrieben ist. Da spricht er davon, dass mit dieser
Änderung der Betrachtungsweise eine Limesüberlegung
verbunden ist.
So gesehen bleibt er seinem Konzept doch treu. Man soll
sich bei alledem nur bewusst sein, dass die behandelte
"klassische Mechanik" stets eine Theorie ist, in der man
über mathematische Modelle physikalischer Vorgänge
spricht - und eben nicht unmittelbar über eine "Realität".
Diese Sichtweise kommt auch z.B. in den ersten Zeilen
des Wikipedia-Artikels über den Begriff des []starren Körpers
deutlich zum Ausdruck:

Als starrer Körper wird ein physikalisches Modell
eines nicht verformbaren Körpers bezeichnet. Der Körper
kann eine kontinuierliche Massenverteilung aufweisen,
oder ein System von diskreten Massenpunkten sein
(z. B. Atome, Moleküle in der Quantenmechanik).
Die Nichtverformbarkeit ist eine Idealisierung, bei der
drei beliebige Punkte des Körpers unabhängig von
äußeren Kräften immer den gleichen Abstand
zueinander besitzen ...


LG ,    Al


Bezug
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