Summe 3er Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 15.12.2008 | | Autor: | adoon |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie:
Es existieren 3 aufeinanderfolgende Quadratzahlen, deren Summe die fünfzehnte Potenz einer natürlichen Zahl ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich hab zuerst die ersten 20 fünfzehnten Potenzen überprüft, ob sie Summe 3er aufeinanderfolgender Quadratzahlen sind, ohne Erfolg.
Die Summe 3er aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist [mm] (n-1)^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] 3*n^2 [/mm] + 2.
Das Einzige, was ich von [mm] 3*n^2 [/mm] + 2 weiss ist, dass es bei der Teilung durch 3 den Rest 2 lässt, das bringt mich aber nicht weiter, denn alle [mm] (3i+2)^{15} [/mm] lassen bei der Teilung durch 3 auch den Rest 2.
Ich konnte auch nicht widerlegen, dass die Summe 3er aufeinanderfolgender Quadratzahlen eine dritte Potenz ist - dafür hab es sogar Gegenbeispiele gefunden - oder dass die Summe eine fünfte Potenz ist.
Und jetzt sind mir die Ideen ausgegangen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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> Zeigen oder widerlegen Sie:
> Es existieren 3 aufeinanderfolgende Quadratzahlen, deren
> Summe die fünfzehnte Potenz einer natürlichen Zahl ist.
>
> Also ich hab zuerst die ersten 20 fünfzehnten Potenzen
> überprüft, ob sie Summe 3er aufeinanderfolgender
> Quadratzahlen sind, ohne Erfolg.
Wow, was für ein Aufwand. Aber immer eine gute Idee.
> Die Summe 3er aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist
> [mm](n-1)^2[/mm] + [mm]n^2[/mm] + [mm](n+1)^2[/mm] = [mm]3*n^2[/mm] + 2.
> Das Einzige, was ich von [mm]3*n^2[/mm] + 2 weiss ist, dass es bei
> der Teilung durch 3 den Rest 2 lässt, das bringt mich aber
> nicht weiter, denn alle [mm](3i+2)^{15}[/mm] lassen bei der Teilung
> durch 3 auch den Rest 2.
Gut beobachtet.
> Ich konnte auch nicht widerlegen, dass die Summe 3er
> aufeinanderfolgender Quadratzahlen eine dritte Potenz ist -
> dafür hab es sogar Gegenbeispiele gefunden - oder dass die
> Summe eine fünfte Potenz ist.
Aha, die Teiler von 15.
> Und jetzt sind mir die Ideen ausgegangen.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Du vermutest richtig, dass es eine Restklasse gibt, in der man die Widerlegung zeigen kann.
Die hauptverdächtigen Restklassen in "solchen" Fällen sind:
- der Exponent (15)
- die Teiler des Exponenten (3 und 5)
- manchmal "reine" Potenzen, die um 1 "daneben" liegen, hier 4 und 16
Die helfen hier aber leider alle nicht weiter, ich habs probiert, wie auch alle Primzahlen bis 30, sowie 59 und 61 [mm] (4*15\pm1).
[/mm]
[mm] \le15 [/mm] sind damit folgende Zahlen "erledigt": 2,3,4,5,7,11,13,15
Ich kann Dir aber versprechen, dass es eine der "unerledigten" Zahlen <15 ist, ich habe sie eher zufällig gefunden...
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 15.12.2008 | | Autor: | adoon |
Ah, also du meinst, dass ich für der Gleichung [mm] 3n^2+2=i^{15} [/mm] irgendein m<15 finden kann, so dass die linke Seite bei der Teilung durch m einen anderen Rest lässt als [mm] i^{15} [/mm] und ich damit gezeigt habe, dass es keine 3 solchen Quadratzahlen geben kann?
Aber wie geht man an sowas ran? Ich mein, ich kann doch weder zur linken Seite irgendwelche Aussagen über Teilbarkeit treffen, noch zur Rechten. Ausser durch 3, weil ich auf der linken Seite mit 3 multipliziert habe und daher weiss, dass die Linke nicht durch 3 teilbar sein kann, bzw. den Rest 2 lässt!?
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Sorry, ich bin auf der Arbeit und wir hatten gerade einen dringenden Zwischenfall. Deswegen so lange Zeit für eine kurze Antwort.
Doch, da kannst Du eine Aussage treffen. Betrachten wir das ganze [mm] \mod{7}.
[/mm]
Tabellen schaffe ich hier nicht, die folgende gibt der Reihe nach i, [mm] i^2 [/mm] , [mm] 3*i^2+2 [/mm] und [mm] i^{15} [/mm] , alles [mm] \mod{7}.
[/mm]
0 0 2 0
1 1 5 1
2 4 0 1
3 2 1 6
4 2 1 1
5 4 0 6
6 1 5 6
Du brauchst so eine Tabelle für ein [mm] r\in\IN, [/mm] in der die dritte und die vierte Spalte keine Zahl gemeinsam haben.
Es gibt so ein r.
Grüße,
rev
- und nochmals Entschuldigung für die Verzögerung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mo 15.12.2008 | | Autor: | adoon |
Danke für die Antwort, dann weiss ich jetzt wenigstens, in welche Richtung es geht 
Du musst dich nicht entschuldigen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Bist Du noch dran?
Letzter, aber eindeutiger Tipp: die gesuchte Zahl ist ungerade.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Dath |
Ich weiß nicht, aber das hört sich für mich nach einem Haufen Geschreibe an. Es muss doch irgendeinen kürzeren Weg noch geben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi,
im Nachhinein gibt es den natürlich auch, wenn man erstmal die/eine Lösung hat, kann man es in wenigen Zeilen hinschreiben.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Dieter,
klar. Hinterher sieht es ganz kurz aus.
Die Frage von Dath ist aber doch berechtigt: gibt's nicht einen Weg, die aussagekräftige Restklasse schneller zu finden? Ich habe mich durch fast zwanzig verschiedene gehangelt, bis ich die richtige gefunden hatte. Natürlich habe ich dazu nur ein kleines Programm (war sogar nur eine Excel-Tabelle) geschrieben und dann nach und nach verschiedene Moduln eingesetzt.
Ich sehe keinen einfacheren Weg, aber wenn es einen gibt, würde ich ihn gern kennenlernen!
Grüße,
rev
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Zumindest lässt sich die mögliche Menge eingrenzen, wenn wir die Gleichung etwas umformen und modulo 3 betrachten:
[mm]3n^2 \equiv k^{15}-2 \mod(3)[/mm]
[mm]0 \equiv k^{15}-2 \mod(3)[/mm]
[mm]2 \equiv k^{15} \mod(3)[/mm]
[mm]-1 \equiv k^{15} \mod(3)[/mm]
Also sollten wir Lösungen suchen, für die
[mm]-1 \equiv k \mod(3)[/mm]
gilt. Die haben die Form
[mm]k = 3m - 1[/mm]
Schon nach wenigen Versuchen wird man fündig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Jetzt würde mich sehr interessieren, was Du gefunden hast.
Modulo 9 ist leicht zu zeigen, dass es da nichts zu finden gibt.
Was von beidem ist nun richtig?
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m=5, also k=14
[mm]n=\wurzel{\bruch{14^{15}-2}{3}}[/mm]
n=227719195
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Nee, so geht das nicht in der Zahlentheorie.
Dass Du ein Ergebnis findest, liegt ausschließlich daran, dass Dein Taschenrechner eine zu geringe Rechengenauigkeit hat.
> m=5, also k=14
>
> [mm]n=\wurzel{\bruch{14^{15}-2}{3}}[/mm]
>
>
> n=227719195,178193254565666201365...
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Weia! Der Taschenrechner heisst Google - hatte gerade nichts besseres zur Hand und dachte eigentlich, die würden doppeltgenau rechnen lassen. I stand corrected.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ich lerne bei dieser Gelegenheit, dass google eine Taschenrechnerfunktion hat. 
Falls Dein google-Zugang per Computer erfolgt, gibt es aber vielleicht noch andere Rechenmöglichkeiten...
Liebe Grüße,
rev
PS: Habe jetzt doch mal eine Lösung eingestellt. Nur damit nicht noch mehr Versuche kommen, das Unfindbare zu erhaschen.
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Scilab rechnet doppeltgenau, aber Google schien schneller zu gehen (wenn man allein die Ladezeit für Java bedenkt ...) ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
> n=227719195
Sicher nicht! Es ist n [mm] \equiv [/mm] 7 mod 9, das erkennt man an der Quersumme, und damit [mm] 3n^2 [/mm] + 2 [mm] \equiv [/mm] 5 mod 9, [mm] n^{15} \equiv (-2)^{15} \equiv ((-2)^3)^5 \equiv 1^5 \equiv [/mm] 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 16.12.2008 | | Autor: | Astor |
Hallo,
wie sehen denn die fünfzehnten Potenzen der ersten 20 natürlichen Potenzen aus? Sind diese Potenzen so, dass man eine gemeinsame Eigenschaft feststellen kann?
Wie kommst du auf [mm](3i+2)^{15}[/mm]?
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Das hat adoon doch richtig beobachtet, Astor.
Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadrate gehört modulo 3 zur Restklasse 2.
Die Frage war nun, ob auf diesem Wege zu zeigen ist, dass es keine 15. Potenz geben kann, für die das auch gilt, und adoon stellt fest: es gibt aber solche 15. Potenzen, nämlich wenn k=3i+2, m.a.W. [mm] (3i+2)^{15}\equiv 3n^2+2\equiv 2\mod{3}
[/mm]
Das sagt nichts über die Existenz eines Paares n,k aus, das die Bedingung erfüllt, aber es kann diese Existenz eben auch nicht widerlegen.
Grüße,
rev
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Sorry, eigentlich unüblich, aber ehe es hier noch mehr verwirrende Beiträge gibt, hier eine Lösung, der zur Musterlösung noch die saubere Notation fehlt. Inhaltlich aber dürfte es so klar sein:
Zu zeigen: es gibt kein (n,k), so dass [mm] (n-1)^2+n^2+(n+1)^2=k^{15}
[/mm]
Hierzu wird eine Betrachtung [mm] \mod{9} [/mm] durchgeführt:
1) [mm] (n-1)^2+n^2+(n+1)^2=3n^2+2
[/mm]
a) n=3m [mm] \Rightarrow 3n^2+2=27m^2+2\equiv 2\mod{9}
[/mm]
b) n=3m+1 [mm] \Rightarrow 3n^2+2=27m^2+18m+3+2\equiv 5\mod{9}
[/mm]
c) n=3m-1 [mm] \Rightarrow 3n^2+2=27m^2-18m+3+2\equiv 5\mod{9}
[/mm]
Mögliche Restklassen [mm] \mod{9}: \a{}2,5
[/mm]
2) [mm] k^{15}
[/mm]
Betrachtung [mm] \mod{9}:
[/mm]
a) k=3j [mm] \Rightarrow k^{15}=3^{15}j^{15} \equiv 0\mod{9}
[/mm]
b) k=3j+1 [mm] \Rightarrow k^{15}=\summe_{i=0}^{15}(3j)^i*1^{15-i}\equiv 1\mod{9}
[/mm]
c) k=3j-1 [mm] \Rightarrow k^{15}=\summe_{i=0}^{15}(3j)^i*(-1)^{15-i}\equiv (\text{-}1)\equiv8\mod{9}
[/mm]
Mögliche Restklassen [mm] \mod{9}: \a{}0,1,8
[/mm]
[mm] \Rightarrow (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\not=k^{15} [/mm] für alle (n,k)
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Vielleicht bin ich schon ganz verwirrt, aber sollten da nicht noch Binomialkoeffizienten in den Summen in 2b) + 2c) auftauchen? Im Ergebnis scheinen sie mir dann wieder berücksichtigt (denn sonst wäre z.B. für j=2 die Summe nicht [mm]\equiv 1 \mod{9}[/mm]).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ach, ich dachte, ich lasse sie mal weg...
Unterscheide zwischen einem Gleichheits- und einem Äuqivalenzzeichen. Es fallen in dieser Restklassenbetrachtung alle Summationsglieder außer dem letzten weg. Dabei enthalten 14 der 15 wegfallenden eine Dreierpotenz [mm] \le3^2. [/mm] Das letzte wegfallende ist [mm] \vektor{15\\1}*(3i)^1=15*3i=5*9i.
[/mm]
Und nur für [mm] \vektor{15\\0}=1 [/mm] wollte ich nicht noch mit Binomialkoeffizienten anfangen.
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